【DP】【P4539】 [SCOI2006]zh_tree

Description

张老师根据自己工作的需要，设计了一种特殊的二叉搜索树。

他把这种二叉树起名为zh_tree，对于具有n个结点的zh_tree，其中序遍历恰好为(1，2，3，…，n)，其中数字1，2，3，…，n 是每个结点的编号。n个结点恰好对应于一组学术论文中出现的n个不同的单词。

第 $j$ 个单词在该组论文中出现的次数记为 $j$，例如，$d_2~=~10$ 表示第 $2$ 个结点所对应的单词在该组论文中出现了 $10$ 次。设该组论文中出现的单词总数为 $S$ ，显然，$S~=~\sum_{i = 1}^{n} d_i$。记 $f_i~=~\frac{d_i}{s}$ 为第j个单词在该组论文中出现的概率（频率）。

张老师把根结点深度规定为 $0$ ，如果第 $j$ 个结点的深度为 $r$ ，则访问该结点 $j$ 的代价 $h_j$ 为 $h_j~=~k(r + 1)~+~c$，其中$k,c$为已知的不超过100的正常数。

则zh_tree是满足以下条件的一棵二叉树：$\sum_{i = 1}^n f_i h_i$ 达到最小。

我们称上式为访问zh_tree的平均代价。 请你根据已知数据为张老师设计一棵zh_tree。

Input

第1行：3个用空格隔开的正数： n k c 其中n<30，为整数，k，c为不超过100的正实数。 第2行：n个用空格隔开的正整数，为每个单词出现的次数(次数<200)。

Output

输出一行表示最小平均代价

Hint

$1~\leq~n~\leq~30~,~0~\leq~d_i~\leq~200​$

Solution

其实就是推式子啦……

$$\begin{align} ans~ & =~\min~\{~\sum_{i = 1}^{n} h_i~\times~f_i\}\\ & =~\min~\{\sum_{i = 1}^n~h_i~\times~\frac{d_i}{S}\}\\ & =~\min~\{\frac{1}{S}~\times~sum_{i = 1}^n~h_i~\times~d_i\}\\ & =~\min~\{\frac{1}{S}~\times~\sum_{i = 1}^n~[k~(r_i~+~1)~c]~\times~d_i\\ & =~\min~\{\frac{1}{S}~\times~\sum_{i = 1}^n~[k~(r_i~+~1)~d_i]~+~\sum_{i = 1}^n d_i~\times~c\}\\ & =~\min~\{\frac{1}{S}~\times~k~\sum_{i = 1}^n~[(r_i~+~1)~d_i]~+~S~\times~c\}\\ \end{align}$$

然后我们发现 $S~=~\sum_{i = 1}^n d_i$ 是个常数，$c$ 也是一个常数，我们将只与这两个值有关的项从 $\min$ 中提出来

$$\begin{align} ans~ & =~\frac{1}{S}~+~S~\times~c~+~\min\{k~\sum_{i = 1}^n~(r_i~+~1)~d_i\}\\ & =~\frac{1}{S}~+~S~\times~c~+~k~\times~\min\{\sum_{i = 1}^n~(r_i~+~1)~d_i\} \end{align}$$

于是我们发现我们事实上要最小化 $\sum_{i = 1}^n~(r_i~+~1)~d_i$，同时满足在这棵树上的中序遍历是 $1~\sim~n$

由于中序遍历的顺序是“左中右”，所以我们可以直接设 $f_{l,r}$ 为区间 $[l,r]$ 的中序遍历为 $l~\sim~r$ 时上式的最小值，转移时可以枚举一个点 $i$ 作为根，则左右子树显然要从上式最小的树形转移过来。转移时等价于左右子树每个点的树高都增加 $1$，即对答案的贡献增加 $\sum_{j = l}^{i - 1} d_j~+~\sum_{j = i + 1}^{r} d_j$。然后加上根的贡献 $d_i$，所以增加的贡献即为 $\sum_{j = l}^r d_j$。直接使用前缀和优化该式子即可。

最后计算答案时记得将常数项乘上。复杂度 $O(n^3)$。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define freopen(a, b, c)
#endif
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

namespace IPT {
	const int L = 1000000;
	char buf[L], *front=buf, *end=buf;
	char GetChar() {
		if (front == end) {
			end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
			if (front == end) return -1;
		}
		return *(front++);
	}
}

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (lst == '-') x = -x;
}

template <typename T>
inline void ReadDb(T &x) {
	rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
	while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch = IPT::GetChar();
	while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
	if (ch == '.') {
		ch = IPT::GetChar();
		double base = 1;
		while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x += (ch ^ 48) * ((base *= 0.1)), ch = IPT::GetChar();
	}
	if (lst == '-') x = -x;
}

namespace OPT {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
	if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {OPT::buf[++top] = x % 10 + '0';} while (x /= 10);
	while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
	if (pt) putchar(aft);
}

const int maxn = 35;

int n;
double c, k;
double MU[maxn], frog[maxn][maxn], sum[maxn];

int main() {
	freopen("1.in", "r", stdin);
	qr(n); ReadDb(k); ReadDb(c);
	memset(frog, 127, sizeof frog);
	for (rg int i = 1; i <= n; ++i) {
		ReadDb(sum[i]);
		frog[i][i] = sum[i]; frog[i + 1][i] = 0;
		sum[i] += sum[i - 1];
	}
	frog[1][0] = 0;
	for (rg int len = 1; len < n; ++len) {
		for (rg int l = 1; l < n; ++l) {
			int r = l + len;
			if (r > n) break;
			for (rg int i = l; i <= r; ++i) frog[l][r] = std::min(frog[l][r], frog[l][i - 1] + frog[i + 1][r]);
			frog[l][r] += sum[r] - sum[l - 1];
		}
	}
	printf("%.3lf\n", (k * frog[1][n] + sum[n] * c) / sum[n]);
}

Summary

二叉树的中序遍历是 左中右 不是 中左右！