【数学】数论进阶-常见数论函数

数论进阶-常见数论函数

参考资料：洛谷2018网校夏季省选基础班SX-3数论进阶课程及课件

一、数论函数的定义

数论函数指定义域为正整数集的函数

二、积性函数与完全积性函数

2.1 数论函数的定义

对于一个数论函数 \(f(x)\)，若 \(\forall~a,b~\in~Z^+,s.t.~~a~\perp~b\) 满足 \(f(ab)~=~f(a)~\times~f(b)\)，则称 \(f(x)\) 为一个积性函数

若 \(\forall~a,b~\in~Z^+\)，都有 \(f(ab)~=~f(a)~\times~f(b)\)，则称 \(f(x)\) 是一个完全积性函数

2.2 积性函数的性质

若 \(f(x)\) 是一个积性函数，且 \(x\) 的唯一分解式为 \(x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~\dots~p_k^{c_k}\)，则 \(f(x)~=~\prod_{i=1}^{k}~f(p_i^{c_i})\)

对于证明，显然每一项之间互质，于是按照积性函数的定义即可证明

注意这个性质是 \(f(x)\) 是积性函数的充要条件

三、简单的常见数论函数

3.1 欧拉函数

设 \(\phi(x)\) 为在模 \(x\) 域下的简化剩余系大小，称为欧拉函数，显然欧拉函数是一个数论函数。并且欧拉函数是一个积性函数。

证明留作作业我不会

3.2 幺元函数

幺元函数 \(e(x)~=~[x~=~1]\)。我们约定中括号返回一个布尔量，中括号内表达式为真返回\(1\)，否则返回\(0\)

3.3 常函数 1

常函数 \(one(x)~=~1\)。不管自变量如何取值函数值恒为 \(1\)

3.4 标号函数

标号函数 \(id(x)~=~x\)。即返回自变量本身

3.5 除数函数

\(\sigma(k,x)~=~\sum_{d \mid x} d^k\)

当 \(k~=~1\) 时，该函数表示 \(x\) 的因子之和

当 \(k~=~0\) 时，该函数表示 \(x\) 的因子个数。

当 \(k\) 省略时默认为 \(1\)

容易证明上面五个函数都是积性函数，除第一个和第五个外都是完全积性函数

四、莫比乌斯函数

4.1 莫比乌斯函数的定义

约定莫比乌斯函数的符号为 \(\mu\)。以下设 \(x\) 的唯一分解式为 \(x~=~p_{1}^{c_1}~p_{2}^{c_2}~\dots~p_k^{c_k}\)。

则莫比乌斯函数为

\[\mu(x)~=~\begin{cases} 1 &\ x~=~1\\ (-1)^m &\ \forall i~\in[1,k],c_i~=~1\\ 0 &\ otherswise \end{cases}\]

显然 \(\mu(x)~=~\prod_{i=1}^k \mu(p_{i}^{c_i})\)

于是莫比乌斯函数是一个积性函数。容易验证它不是一个完全积性函数。

4.2 性质

\(\sum_{d \mid n}\mu(d)~=~[n~=~1]\)

证明

\(n~=~1\) 时显然成立，下证 \(n~\neq~1\) 的情况

设 \(n\) 的唯一分解式为 \(n~=~\prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i}\)

设 \(n_0~=~\prod_{i=1}^{k} p_i\)。即 \(n_0\) 是 \(n\) 最大的不含平方因子的因数

\(\forall d\mid n~\land~\mu(d)~\neq~0\) 显然 \(d \mid n_0\)

当 \(d\) 不含 \(n\) 的质因子 \(p_0\) 时，有

\[\mu(dp_0)~=~\mu(d)~\times~\mu(p_0)~=~-\mu(d) \]

考虑非 \(n_0\) 的因子的数，因为含有平方因子，对答案都没有贡献，于是有

\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~\sum_{d \mid~n_0} \mu(d) \]

我们将这些数 \(d\) 分成两类，第一类含有 \(p_0\) ，第二类不含 \(p_0\)。显然这两类有一一对应关系。因为第一类的每个数乘 \(p_0\) 就可以得到第二类中的所有数

于是

\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~\sum_{d \mid~n_0} \mu(d)~=~\sum_{d \mid \frac{n_0}{p_0}} (\mu(d)+\mu(dp_0))~=~~\sum_{d \mid \frac{n_0}{p_0}} (\mu(d)-\mu(d))~=~0 \]

证毕

五、狄利克雷卷积

5.1 狄利克雷卷积的定义

设 \(f\) 和 \(g\) 都是数论函数，定义 \(f\) 和 \(g\) 的狄利克雷卷积为 \(h\)，记为 \(h~=~f*g\)

定义 \(h(z)~=~\sum_{x \times y = z} f(x)~\times~g(y)\)

显然狄利克雷卷积拥有交换律和结合律以及乘法对加法的分配律

5.2 函数的积性

若 \(f\) 和 \(g\) 都是积性函数，则 \(h\) 为积性函数

证明：

设 \(n\) 的唯一分解式为 \(n~=~\prod_{i=1}^k p_{i}^{c_i}\)

于是有

\[\begin{align} h(n)~ & =~\sum_{i_1=0}^{c_1}~\sum_{i_2 = 0}^{c_2}~\dots~\sum_{i_k=0}^{c_k} (f(\prod_{j=1}^k p_j^{i_j})~\times~g(\prod_{j=1} p_j^{c_j-i_j}))~~(定义)\\ & =~\sum_{i_1=0}^{c_1}~\sum_{i_2 = 0}^{c_2}~\dots~\sum_{i_k=0}^{c_k} (\prod_{j=1}^k f(p_{j}^{i_j})~\times~g(p_{j}^{c_j-i_j}))~~(积性函数的性质)\\ & =~\prod_{s=1}^{k}~\sum_{i_s=0}^{c_s} (f(p_s^{i_s})~\times~g(p_s^{c_s-i_s}))~~(求和变换)\\ & =~\prod_{s=1}^{k} h(p_s^{c_s})~~(狄利克雷卷积的定义) \end{align} \]

根据积性函数的性质，狄利克雷卷积为一个积性函数

5.3 对因数求和函数的可卷性 \((5.3.1)\)

若 \(g(n)~=~\sum_{d \mid n} f(d)\)，则 \(g~=~f*one\)。其中 \(one\) 为常函数 \(1\)

证明上，依照狄利克雷卷积的定义，等价于每一项都乘 \(1\)，对答案不产生影响。

5.4 常见数论函数的狄利克雷卷积

5.4.1莫比乌斯函数

莫比乌斯函数的性质

\[\sum_{d \mid n} \mu(d)~=~0 \]

可以改写为

\[\mu~*~one~=~e \]

\(e\) 为前文提到的幺元函数

5.4.2欧拉函数

有性质

\[\phi~*~one~=~id \]

即

\[\sum_{d \mid n} \phi(d)~=~n \]

证明：

引理(5.4.2.1)：

\(\forall~p~\)为质数，\(r~\in~Z^+\)，都有\(\phi(p^r)~=~(p-1)~\times~p^{r-1}\)。

证明：

由于\(p\)是一个质数，所以\(~1~\sim~(p^r-1)~\)中有且仅有\(i~\times~p,~i~\in~(0,p^{r-1})~\)与\(p^r\)互质。

于是\(\phi(p^r)~=~p^r~-~p^{r-1}~=~p^{r-1}~\times~(p~-~1)~\)。

引理证毕。

欲证原式，即证

\[\sum_{d \mid p^k} \phi(d)~=~p^k \]

考虑 \(p^k\) 的因子有且仅有 \(p^s~,~s~\in~[0,k]\)

于是欲证上式即证

\[\sum_{i=0}^{k} \phi(p^i) \]

根据引理，上式正确性显然。

证毕

5.5 例题

给定积性函数 \(f\) 和 \(g\)，求 \(f*g\) 的前 \(n\) 项

枚举直接暴力枚举 \(f\) 的前 \(n\) 项，然后枚举 \(g\) 的对应项。假如计算 \(f_i~\times~g_j\) 的贡献，则一定满足 \(i~\times~j~\leq~n\)，于是 \(j~\leq~\frac{n}{i}\)。根据调和级数，复杂度 \(O(n \log n)\)