【DP】【CF855C】 Helga Hufflepuff's Cup
Description
给你一个树，可以染 \(m\) 个颜色，定义一个特殊颜色 \(k\) ， 要求保证整棵树上特殊颜色的个数不超过 \(x\) 个。同时，如果一个节点是特殊颜色，那么它的相邻节点的颜色编号必须全部小于 \(k\)。求方案数。
Input
第一行 \(n,m\) 代表节点个数和颜色树
下面 \(n~-~1\) 行描述一棵树
最后一行是特殊颜色 \(k\) 和颜色个数 \(x\)
Output
输出一行一个整数，代表答案对 \(10^9~+~7\) 取模结果
Hint
\(Forall:\)
\(n~\leq~10^5~,~m~\leq~10^9~,~k~\leq~m~,~x~\leq~10\)
Solution
这题感觉有点像DDOSvoid的疑惑
我 爆 破 我 自 己
数数题，考虑DP。
显然这个题的选点分为三种，分别是小于 \(k\)，等于 \(k\)，大于 \(k\)。同时有颜色个数的限制，于是可以设 \(f_{i,j,0/1/2}\) 代表以 \(i\) 为根的子树，选了 \(j\) 个特殊颜色，其中节点 \(i\) 的颜色 小于/等于/大于 \(k\)
考虑一个节点只有两个儿子的情况，直接把贡献乘一下即可。
考虑一个节点有多个儿子的时候，每加入一个新节点产生的贡献如何计算：
设 \(g_{i,j,0/1/2}\) 为 \(u\) 的子树（省略第一维），考虑前 \(i\) 个儿子，选了 \(j\) 个 \(k\)，节点 \(i\) 的状态是 \(0/1/2\) 的方案数。
一下假设当前枚举的是 \(u\) 的第 \(i\) 个儿子。
考虑 \(u\) 选小于 \(k\) 的情况：
则该儿子可以选 \(0/1/2\) 三种情况，这三种情况相互并行，应该将贡献相加，同时两两子树间互不影响，应将贡献相乘。
于是有
同理，\(u\) 选等于 \(k\) 的情况：
该儿子只能选 \(0\) 一种情况，于是有
同理，\(u\) 选大于 \(k\) 的情况：
该儿子可以选 \(0/2\) 两种可能，于是
设 \(u\) 有 \(v\) 个孩子，于是
当然 \(g\) 可以把第一维滚掉，这样就没有空间问题辣~
于是就可以统计答案了。记得取模。代码里面因为不知道哪里爆掉了于是干脆 \(define~~int~~ll\) 了23333
Code
#include <cstdio>
#include <cstring>
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define freopen(a, b, c)
#endif
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long
#define int ll
typedef long long ll;
namespace IPT {
const int L = 1000000;
char buf[L], *front=buf, *end=buf;
char GetChar() {
if (front == end) {
end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
if (front == end) return -1;
}
return *(front++);
}
}
template <typename T>
inline void qr(T &x) {
rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch=IPT::GetChar();
while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
if (lst == '-') x = -x;
}
template <typename T>
inline void ReadDb(T &x) {
rg char ch = IPT::GetChar(), lst = ' ';
while ((ch > '9') || (ch < '0')) lst = ch, ch = IPT::GetChar();
while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = IPT::GetChar();
if (ch == '.') {
ch = IPT::GetChar();
double base = 1;
while ((ch >= '0') && (ch <= '9')) x += (ch ^ 48) * ((base *= 0.1)), ch = IPT::GetChar();
}
if (lst == '-') x = -x;
}
namespace OPT {
char buf[120];
}
template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft, const bool pt) {
if (x < 0) {x = -x, putchar('-');}
rg int top=0;
do {OPT::buf[++top] = x % 10 + '0';} while (x /= 10);
while (top) putchar(OPT::buf[top--]);
if (pt) putchar(aft);
}
const int maxn = 100010;
const int maxm = 200010;
const int MOD = 1000000007;
struct Edge {
int to, nxt;
};
Edge edge[maxm]; int hd[maxn], ecnt = 1;
inline void cont(ci from, ci to) {
Edge &e = edge[++ecnt];
e.to = to; e.nxt = hd[from]; hd[from] = ecnt;
}
int n, m, x, v, dv;
int frog[maxn][15][3], gorf[maxn][2][15][3];
void reading();
void dfs(ci, ci);
signed main() {
freopen("1.in", "r", stdin);
qr(n); qr(m);
reading();
qr(v); qr(x); dv = m - v;
dfs(1, 0);
int ans = 0;
for (rg int i = 0; i <= x; ++i)
for(rg int j = 0; j < 3; ++j) ans = (ans + frog[1][i][j]) % MOD;
qw(ans, '\n', true);
return 0;
}
void reading() {
int a, b;
for (rg int i = 1; i < n; ++i) {
a = b = 0;
qr(a); qr(b);
cont(a, b);
cont(b, a);
}
}
void dfs(ci u, ci pree) {
int pre = 0;
gorf[u][pre][0][0] = v - 1;
gorf[u][pre][1][1] = 1;
gorf[u][pre][0][2] = dv;
for (int i = hd[u]; i; i = edge[i].nxt) if(i != pree) {
int &to = edge[i].to;
dfs(to, i ^ 1);
pre ^= 1;
memset(gorf[u][pre], 0, sizeof gorf[u][pre]);
for (rg int j = 0; j <= x; ++j) {
for (rg int k = 0; k <= j; ++k) {
gorf[u][pre][j][0] = (gorf[u][pre][j][0] + 1ll * gorf[u][pre ^ 1][j - k][0] * (frog[to][k][0] + frog[to][k][1] + frog[to][k][2])) % MOD;
gorf[u][pre][j][1] = (1ll * gorf[u][pre ^ 1][j - k][1] * frog[to][k][0] + gorf[u][pre][j][1]) % MOD;
gorf[u][pre][j][2] = (1ll * gorf[u][pre ^ 1][j - k][2] * (frog[to][k][0] + frog[to][k][2]) + gorf[u][pre][j][2]) % MOD;
}
}
}
for (rg int i = 0; i <= x; ++i)
for (rg int j = 0; j < 3; ++j)
frog[u][i][j] = gorf[u][pre][i][j];
#ifdef DEBUG
printf("EM%d:\n", u);
for (rg int i = 0; i <= x; ++i) {
for (rg int j = 0; j < 3; ++j)
printf("%d %d %d\n",i, j, frog[u][i][j]);
}
#endif
}
Summary
这类树上求方案数的问题都需要在转移时借助一个辅助数组，记录已经枚举过得儿子的信息，然后计算当前这个儿子加入的贡献。
