【ML-2】最小二乘法(least squares)介绍
目录
- 最小二乘法的原理与要解决的问题
- 最小二乘法的代数法解法
- 最小二乘法的矩阵法解法
- 最小二乘法的局限性和适用场景
- 常见问题
最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。
一、最小二乘法的原理与要解决的问题
最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的(也有争议为高斯发明)，形式如下式：
观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：
二、最小二乘法的代数法解法
上面提到要使J(θ0,θ1)最小，方法就是对θ0和θ1分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于θ0和θ1的二元方程组。求解这个二元方程组即可。
这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。
这样我们得到一个N+1元一次方程组，这个方程组有N+1个方程，求解这个方程，就可以得到所有的N+1个未知的θ。
这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样，都是用损失函数对各个参数求导取0，然后求解方程组得到参数值。这里就不累述了。
三、最小二乘法的矩阵法解法
矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。在我的博客【1】中已经使用到：
四、最小二乘法的局限性和适用场景
从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。
- 如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。
- 当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征数n的时候，用方程组求解就可以了。当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。
五、常见问题
1） 对于多元函数求其极值，即使求偏导并令偏导数为0，也不能代表所求的值为极值点，也可能是拐点吧？
回答： 是的，不一定是全局极值点。只有数据集是凸的情况下，是全局的极值点。
2）假设函数非凸，求偏导之后，应该会求出多个值。此时这些值，应该是局部最优、或者拐点及全局最优解。如何判定这些值属于什么情况? 需要代入计算么？
回答：一般不用，这是理论上的情况，实际应用中局部最优也可以满足要求。
3）对于一元函数，可导必连续，连续未必可导。而对于多元函数而言，两者没有必然联系。如果存在不可导的情况，又该如何解决呢? 比如用梯度下降法求极值时，如何确保函数是连续的？如何确保函数在某点可导？
回答：对于无法连续可导的情况，比如L1正则化，一般可以用坐标轴下降法和最小角回归法来迭代求解极值。
4）是否可能存在损失函数为单调函数，那这样的话，不是没有极值了？
回答：这也有可能，但是我们总可以迭代找到局部最优的极小值。
5)如果存在调参时，正好选择的区间处于拐点区间。梯度下降法又是以梯度值接近0为判定条件，这样的话，应该会造成错误的参数选择吧。这个感觉还和局部最优解不一样。
回答：是的，所以一般需要多选择几个初始值分别梯度下降，找里面最优的局部最优解。
6）对于单调函数而言，其梯度是很难找到接近0的情况（除非是拐点）。。如何能通过迭代找到局部最优解呢？--比如X^3这样的函数，是单调递增的，X=0时是拐点，那是将X=0作为最优解了？
回答： 一般机器学习都是定义损失函数，损失最小为0，所以肯定会有拐点。拐点附近的局部最优解容易被找到。
附件一：手写推导过程练习
