「解题报告」2023-10-29 模拟赛

魔法串#

（magic.cpp/c/pas）magic.in magic.out

【问题描述】

小 $N$ 最近在沉迷数学问题。

对于一个数字串 $S$，如果可以将它划分成两个数字 $A$、$B$，满足：

1、 。

2、 $A$、$B$ 均不包含前导 $0$。

3、 $B$ 是 $A$ 的倍数，且$\dfrac{B}{A}$是完全立方数。

那么小 $N$ 就认为该划分是一个“好划分”。 如对于数字串“$11297$”，（$11$， $297$）就是一个“好划分”。

如果一个数字串 $S$ 至少有两个“好划分”，那么小 $N$ 就认为 $S$ 是一个“魔法串”。如数字串“$1335702375$”就是一个“魔法串”，其“好划分”有（$1$， $335702375$）和（$133$，$5702375$）。

现在给定正整数 $N$，小 $N$ 需要你帮她求出一个长度恰好为 $N$ 的“魔法串”$S$，如果无解请输出“QwQ”（不带引号）。

【输入】

一行一个正整数 $N$。

【输出】

一行一个长度恰好为 $N$ 的“魔法串”$S$， 如果无解请输出“QwQ”（不带引号） 。

【输入输出样例】

19

【输出样例】

1124784124392112128

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据： $1 \le N \le 10$。
对于 $50\%$ 的数据： $1 \le N \le 35$。
对于 $100\%$ 的数据： $1 \le N \le 100$。

当 $N \le 4$ 时无解。

如果数字串 $S$ 是一个魔法串，那么向 $S$ 后面添加 “$000$” 后得到的新串也是一个魔法串。那所以只需要求出 $N = 5、6、7$ 时的可行解，就可以推广到所有情况。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))
#define orz puts("sym, cjx, gjh AK IOI!!!");

template<typename T>
inline T read() {
	T x = 0;
	bool fg = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		fg |= (ch == '-');
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return fg ? -x : x;
}

const int N = 40;

int n, tmpn;
int num[N];
bool vis[10000005];

void work() {
	int cnt = 0;
	rep (i, 2, tmpn, 1) {
		bool fg = 0;
		ll res1 = 0, res2 = 0;
		rep (j, 1, i - 1, 1) {
			res1 = res1 * 10 + num[j];
			if (!res1) {
				fg = 1;
				break ;
			}
		}
		if (fg)	continue ;
		rep (j, i, tmpn, 1) {
			res2 = res2 * 10 + num[j];
			if (!res2) {
				fg = 1;
				break ;
			}
		}
		if (fg)	continue ;
		if (res2 % res1 == 0) {
			ll tmp = res2 / res1;
			if (!vis[tmp])	continue ;
			++ cnt;
		}
	}
	if (cnt < 2)	return ;
	rep (j, 1, tmpn, 1) {
		printf("%d", num[j]);
	}
	rep (j, tmpn + 1, n, 1) {
		printf("0");
	}
	putchar('\n');
	exit(0);
}

void dfs(int u) {
	if (u > tmpn) {
		work();
		return ;
	}
	rep (i, 0, 9, 1) {
		if (i == 0 && u == 1) {
			continue ;
		}
		num[u] = i;
		dfs(u + 1);
	}
}

int main() {
	freopen("magic.in", "r", stdin);
	freopen("magic.out", "w", stdout);
	for (ll i = 1; i <= 1000; ++ i) {
		if (i * i * i > 10000000)	break ;
		vis[i * i * i] = 1;
	}
	n = read<int>();
	int tmp = n - 4;
	tmp %= 3;
	switch(tmp) {
		case 0:
		tmpn = 7;
		break ;
		case 1:
		tmpn = 5;
		break ;
		case 2:
		tmpn = 6;
		break ;
	}
	dfs(1);
	puts("QwQ");
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}

配对#

（pair.cpp/c/pas）pair.in pair.out

【问题描述】

有 $1~n$ 一共 $n$ 个数，$n$ 为偶数。小 $Q$ 要把这 $n$ 个数随机地两两配对。令每一对的权值为它们两个数的和。小 $Q$ 想要知道这 $n$ 对里最大的权值的期望是多少。请输出答案对 $10^9+7$ 取模的值。

【输入】

一行一个正整数 $N$。

【输出】

一行一个整数，表示答案对 $10^9+7$ 取模的值。

【输入样例】

4

【输出样例】

6

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据： $1 \le N \le 10$。

对于 $40\%$ 的数据： $1 \le N \le 2000$。

对于 $100%$ 的数据： $1 \le N \le 500000$。

考虑枚举答案是否$\ge v$

转化成答案是否$\le v$

把$1-n$分成两部分，一部分是$>\frac{v}{2}$的，一部分是$\le \frac{v}{2}$的。

显然$>\frac{v}{2}$的只能和$\le\frac{v}{2}$的匹配。

我们从大到小枚举$>\frac{v}{2}$的部分，每次都有$v-n$种选择，故方案数为

$$(v-n)^{n-\frac{v}{2}}$$

剩下的部分是一个完全图，令$f(x)$为$x$个点的方案数,$f(x)$为$1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (x/2)$

预处理阶乘后可以$O(nlogn)$进行计算。

// The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))

template<typename T>
inline T read() {
    T x = 0;
    bool fg = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        fg |= (ch == '-');
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return fg ? ~x + 1 : x;
}

template<typename T>
void write(T x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}

template<typename T>
void print(T x, char c) {
   write(x);
   putchar(c);
}

const int N = 5e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

ll n;
ll inv[N], pri[N];

ll qpow(ll x, ll y) {
    ll ret = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) {
            ret = ret * x % mod;
        }
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
	freopen("pair.in", "r", stdin);
	freopen("pair.out", "w", stdout);
    n = read<int>();
    inv[0] = pri[0] = 1;
    rep (i, 1, n / 2, 1) {
        pri[i] = pri[i - 1] * (2 * i - 1) % mod;
    }
    inv[n / 2] = qpow(pri[n / 2], mod - 2) % mod;
    per (i, n / 2 - 1, 1, 1) {
        inv[i] = inv[i + 1] * (2 * i - 1) % mod;
    }
    ll ans = 0, las = 0;
    rep (v, n + 1, 2 * n - 1, 1) {
        int k = n - v / 2;
        ll z = qpow(v - n, k) % mod * pri[v / 2 - n / 2] % mod;
        ans = (ans + 1ll * v * (((z - las) % mod + mod) % mod) % mod) % mod;
        las = z;
    }
    printf("%lld\n", (ans * inv[n / 2]) % mod);
    return 0;
}

幸运数#

（lucky.cpp/c/pas）lucky.in lucky.out

【问题描述】

对于任意两个非零整数 $x$，$y$，若整数 $d$ 能同时被 $x$ 和 $y$ 整除，则称 $d$ 为 $x$ 与 $y$ 的公约数。定义 $x$ 与 $y$ 的最大公约数 $\gcd(x, y)$ 为 $x$ 与 $y$ 的最大的公约数。

如 $\gcd(6, 9) = 3, \gcd(12, 16) = 4, \gcd(25, 32) = 1$，等等。

这里，我们定义什么是幸运数：

对于一个正整数 $d$，我们使用 $d_i$ 表示 $d$ 在十进制表示下，按从低位到高位顺序的第 $i$ 位数字。

设 $F(d)$ 表示 $d$ 的奇数位的数字之和，即 $F(d) = d_1 + d_3 + d_5 + \cdots$；

设 $G(d)$ 表示 $d$ 的偶数位的数字之和，即 $G(d) = d_2 + d_4 + d_6 + \cdots$；

若 $F(d)$ 与 $G(d)$ 均大于 $0$，且 $F(d)$ 与 $G(d)$ 的最大公约数不超过 $K$，则称 $d$ 为幸运数。其中 $K$ 是一个已知的常数。

举个例子来说，若 $d = 641$，则 $d_1 = 1, d_2 = 4, d_3 = 6, F(641) = 1 + 6 = 7，G(641) = 4$。此时 $F(d)$ 与 $G(d)$ 的最大公约数即 $\gcd(7, 4)$ 等于 $1$。则当 $K$ 不小于 $1$ 时 $641$ 是幸运数。

小 $M$ 请你回答下面的问题：

对于给定的 $K$，在不小于 $L$ 并且不超过 $R$ 的所有整数中，有多少个数是幸运数？

注意，输入文件包含多组测试数据。

【输入文件】

第一行包含一个整数 $T$，表示有 $T$ 组测试数据。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $K、L、R$，表示一次询问。

【输出文件】

输出 $T$ 行，每行一个整数，依次表示每组测试数据的答案。

【输入样例】

5
1 1 10
2 28 34
100 987654321 987654321
1 1 50000
1 50001 100000

【输出样例】

0
5
1
30298
30309

【样例解释】
$K = 1$ 时，$1$ 到 $10$ 之间不存在幸运数。

$K = 2$ 时，$28$ 到 $34$ 之间的幸运数有 $28、29、31、32、34$，共 $5$ 个。

$K = 100$ 时，$987654321$ 是幸运数。
$K = 1$ 时，$1$ 到 $50000$ 之间的幸运数有 $30298$ 个，$50001$ 到 $100000$ 之间的幸运数有 $30309$ 个。

【数据规模和约定】

对于 $10\%$ 的数据：$1 \le L \le R \le 10^3$。

另有 $10\%$ 的数据：$1 \le L \le R \le 10^7，1 \le K, T \le 10$。

另有 $10\%$ 的数据：$1 \le L \le R \le 10^9，K = 1，1 \le T \le 10$。

对于 $60\%$ 的数据：$1 \le L \le R \le 10^{12}，1 \le K, T \le 10^2$。

对于 $100\%$ 的数据：$1 \le L \le R \le 10^{18}， 1 \le K \le 10^2，1 \le T \le 1000$。

60 pts：

设 $f(i, sum1, sum2)$ 为在第 $i$ 位，奇数位上的数的和为 $sum1$，偶数位上的数的和为 $sum2$，进行数位 DP。

// The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define bug puts("NOIP rp ++!");
#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))

template<typename T>
inline T read() {
    T x = 0;
    bool fg = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        fg |= (ch == '-');
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return fg ? ~x + 1 : x;
}

template<typename T>
void write(T x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if (x > 9) {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}

template<typename T>
void print(T x, char c) {
   write(x);
   putchar(c);
}

int T;
ll k, l, r;
int a[100];
ll f[25][180][180];

ll dfs(int dig, int lim, ll sum1, ll sum2) {
    if (dig == 0) {
        if (sum1 && sum2 && __gcd(sum1, sum2) <= k) {
            return 1;
        }
        return 0;
    }
    if ((!lim) && (~f[dig][sum1][sum2])) {
        return f[dig][sum1][sum2];
    }
    int num = lim ? a[dig] : 9;
    ll ans = 0;
    rep (i, 0, num, 1) {
        ll tmp1 = sum1, tmp2 = sum2;
        if (dig & 1) {
            tmp1 += i;
        } else {
            tmp2 += i;
        }
        ans += dfs(dig - 1, lim && i == a[dig], tmp1, tmp2);
    }
    if (!lim) {
        f[dig][sum1][sum2] = ans;
    }
    return ans;
}

ll solve(ll n) {
    int cnt = 0;
    while (n) {
        a[++ cnt] = n % 10;
        n /= 10;
    }
    return dfs(cnt, 1, 0, 0);
}

void work() {
    memset(f, -1, sizeof f);
    k = read<ll>(), l = read<ll>(), r = read<ll>();
    cout << solve(r) - solve(l - 1) << '\n';
}

int main() {
	freopen("lucky.in", "r", stdin);
	freopen("lucky.out", "w", stdout);
    T = read<int>();
    while (T --) {
        work();
    }
    return 0;
}