函数极限的定义#
函数极限的一般概念: 在自变量的某个变化过程中, 如果对应的函数值无限接近于某个确定的数, 那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.
1. 自变量趋于有限值时函数的极限#
前提: 考虑自变量 x 的变化过程为 x→x0. 假定函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内是由定义的.
如果在 x→x0 的过程中, 对应的函数值 f(x) 无限接近于确定的数值 A, 那么就说 A 是函数 f(x) 当 x→x0 时的极限.
定义: 设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ε (无论它多么小), 总存在正数 δ, 使得当 x 满足不等式 0<|x−x0|<δ 时, 对应的函数值 f(x) 都满足不等式
|f(x)−A|<ε,
那么常数 A 就叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的极限, 记作
limx→x0f(x)=A或f(x)→A(当x→x0).
简单表达为
limx→x0f(x)=A⇔∀ε>0,∃δ>0,当0<|x−x0|<δ时,有|f(x)−A|<ε.
定义中 0<|x−x0| 表示 x≠x0, 所以 x→x0 时 f(x) 有没有极限, 与 f(x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
x 仅从 x0 的左侧趋于 x0 记为 x→x−0, x 仅从 x0 的右侧趋于 x0 记为 x→x+0.
在 x→x−0 的情形, x 在 x0 的左侧, x<x0. 在 limx→x0f(x)=A 的定义中, 把 0<|x−x0|<δ 改为 x0−δ<x<x0, 那么 A 就叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的左极限, 记作
limx→x−0f(x)=A或f(x−0)=A.
类似的, 在 limx→x0f(x)=A 的定义中, 把 0<|x−x0|<δ 改为 x0<x<x0+δ, 那么 A 就叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的右极限, 记作
limx→x+0f(x)=A或f(x+0)=A.
左极限与右极限统称为单侧极限.
函数 f(x) 当 x→x0 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等,即 f(x−0)=f(x+0). 因此, 即使 f(x−0) 和 f(x+0) 都存在, 但若不相等, 则 limx→x0f(x) 也不存在.
2. 自变量趋于无穷大时函数的极限#
定义: 设函数 f(x) 当 |x| 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ε (无论它多么小), 从存在着正数 X, 使得当 x 满足不等式 |x|>X 时, 对应的函数值 f(x) 都不满足不等式
|f(x)−A|<ε,
那么常数 A 就叫做函数 f(x) 当 x→∞ 时的极限, 记作
limx→∞f(x)=A或f(x)→A(当x→∞).
简单表达为
limx→∞f(x)=A⇔∀ε>0,∃X>0,当|x|>X时,有|f(x)−A|<ε.
在几何上, limx→∞f(x)=A, 直线 y=A 是函数 y=f(x) 的图形的水平渐近线.
函数极限的性质#
定理 1 (函数极限的唯一性) : 如果 limx→x0f(x) 存在, 那么这极限唯一.
定理 2 (函数极限的局部有界性) : 如果 limx→x0f(x)=A, 那么存在常数 M>0 和 δ>0, 使得当 0<|x−x0|<δ 时, 有 |f(x)|≤M.
定理 3 (函数极限的局部保号性) : 如果 limx→x0f(x)=A, 且 A>0(或A<0), 那么存在常数 δ>0, 使得当 0<|x−x0|<δ 时, 有 f(x)>0(或f(x)<0).
证明:
就A>0的情形证明.因为limx→x0f(x)=A>0,所以,取ε=A2>0,则∃δ>0,当0<|x−x0|<δ时,有|f(x)−A|<A2⇒f(x)>A−A2=A2>0.类似地可以证明A<0的情形.
从证明中可知, 在定理 3 的条件下, 可得下面更强的结论:
定理 3′: 如果 limx→x0f(x)=A(A≠0), 那么就存在着 x0 的某一去心邻域 ∘U(x0) 时, 就有 |f(x)>|A|2.
推论: 如果在 x0 的某去心邻域内 f(x)≥0(或f(x)≤0), 而且 limx→x0f(x)=A, 那么 A≥0(或A≤0)
定理 4 (函数极限与数列极限的关系) : 如果极限 limx→x0f(x) 存在, {xn} 为函数 f(x) 的定义域内任一收敛于 x0 的数列, 且满足: xn≠x0(n∈N+), 那么存在相应的函数值数列 {f(xn)} 必收敛, 且 limn→∞f(xn)=limx→x0f(x).
【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 地球OL攻略 —— 某应届生求职总结
· 周边上新:园子的第一款马克杯温暖上架
· Open-Sora 2.0 重磅开源!
· 提示词工程——AI应用必不可少的技术
· .NET周刊【3月第1期 2025-03-02】