「高等数学」1.3 函数的极限

函数极限的定义#

函数极限的一般概念: 在自变量的某个变化过程中, 如果对应的函数值无限接近于某个确定的数, 那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.

1. 自变量趋于有限值时函数的极限#

前提: 考虑自变量 $x$ 的变化过程为 $x \rightarrow x_0$. 假定函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内是由定义的.

如果在 $x \rightarrow x_0$ 的过程中, 对应的函数值 $f(x)$ 无限接近于确定的数值 $A$, 那么就说 $A$ 是函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的极限.

定义: 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数 $A$, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$ (无论它多么小), 总存在正数 $\delta$, 使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时, 对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式

$$|f(x) - A| < \varepsilon,$$

那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的极限, 记作

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A 或 f(x) \rightarrow A (当 x \rightarrow x_0).$$

简单表达为

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0, 当 0 < |x - x_0| < \delta 时, 有 |f(x) - A| < \varepsilon.$$

定义中 $0 < |x - x_0|$ 表示 $x \ne x_0$, 所以 $x \rightarrow x_0$ 时 $f(x)$ 有没有极限, 与 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是否有定义并无关系.

$x$ 仅从 $x_0$ 的左侧趋于 $x_0$ 记为 $x \rightarrow x_0^-$, $x$ 仅从 $x_0$ 的右侧趋于 $x_0$ 记为 $x \rightarrow x_0^+$.

在 $x \rightarrow x_0^-$ 的情形, $x$ 在 $x_0$ 的左侧, $x < x_0$. 在 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的定义中, 把 $0 < |x - x_0| < \delta$ 改为 $x_0 - \delta < x< x_0$, 那么 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的左极限, 记作

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A 或 f(x_0^-) = A.$$

类似的, 在 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的定义中, 把 $0 < |x - x_0| < \delta$ 改为 $x_0 < x < x_0 + \delta$, 那么 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限, 记作

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A 或 f(x_0^+) = A.$$

左极限与右极限统称为单侧极限.

函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即 $f(x_0^-) = f(x_0^+).$ 因此, 即使 $f(x_0^-)$ 和 $f(x_0^+)$ 都存在, 但若不相等, 则 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 也不存在.

2. 自变量趋于无穷大时函数的极限#

定义: 设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 $A$, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$ (无论它多么小), 从存在着正数 $X$, 使得当 $x$ 满足不等式 $|x| > X$ 时, 对应的函数值 $f(x)$ 都不满足不等式

$$|f(x) - A| < \varepsilon,$$

那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时的极限, 记作

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A 或 f(x) \rightarrow A (当 x \rightarrow \infty).$$

简单表达为

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist X > 0, 当 |x| > X 时, 有 |f(x) - A| < \varepsilon.$$

在几何上, $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$, 直线 $y = A$ 是函数 $y = f(x)$ 的图形的水平渐近线.

函数极限的性质#

定理 $1$ (函数极限的唯一性) : 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在, 那么这极限唯一.

定理 $2$ (函数极限的局部有界性) : 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$, 那么存在常数 $M > 0$ 和 $\delta > 0$, 使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时, 有 $|f(x)| \le M$.

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定理 $3$ (函数极限的局部保号性) : 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$, 且 $A > 0 (或 A < 0)$, 那么存在常数 $\delta > 0$, 使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时, 有 $f(x) > 0 (或 f(x) < 0)$.

证明:

$$就 A > 0 的情形证明.\\ 因为 \lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0, 所以, 取 \varepsilon = \dfrac{A}{2} > 0, 则 \exist \delta > 0, 当 0 < |x - x_0| < \delta 时, 有\\ |f(x) - A| < \dfrac{A}{2} \Rightarrow f(x) > A - \dfrac{A}{2} = \dfrac{A}{2} > 0.\\ 类似地可以证明 A < 0 的情形.$$

从证明中可知, 在定理 $3$ 的条件下, 可得下面更强的结论:

定理 $3'$: 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A (A \ne 0)$, 那么就存在着 $x_0$ 的某一去心邻域 $\overset{\circ}{U} (x_0)$ 时, 就有 $|f(x) > \dfrac{|A|}{2}$.

推论: 如果在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x) \ge 0 (或 f(x) \le 0)$, 而且 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$, 那么 $A \ge 0 (或 A \le 0)$

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定理 $4$ (函数极限与数列极限的关系) : 如果极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在, $\left \{ x_n \right \}$ 为函数 $f(x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列, 且满足: $x_n \ne x_0 (n \in \mathbf{N_{+}})$, 那么存在相应的函数值数列 $\left \{ f(x_n) \right \}$ 必收敛, 且 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{x \to x_0} f(x)$.