「高等数学」1.3 函数的极限

函数极限的定义#

函数极限的一般概念: 在自变量的某个变化过程中, 如果对应的函数值无限接近于某个确定的数, 那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.

1. 自变量趋于有限值时函数的极限#

前提: 考虑自变量 x 的变化过程为 xx0. 假定函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内是由定义的.

如果在 xx0 的过程中, 对应的函数值 f(x) 无限接近于确定的数值 A, 那么就说 A 是函数 f(x)xx0 时的极限.

定义: 设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ε (无论它多么小), 总存在正数 δ, 使得当 x 满足不等式 0<|xx0|<δ 时, 对应的函数值 f(x) 都满足不等式

|f(x)A|<ε,

那么常数 A 就叫做函数 f(x)xx0 时的极限, 记作

limxx0f(x)=Af(x)A(xx0).

简单表达为

limxx0f(x)=Aε>0,δ>0,0<|xx0|<δ,|f(x)A|<ε.

定义中 0<|xx0| 表示 xx0, 所以 xx0f(x) 有没有极限, 与 f(x) 在点 x0 是否有定义并无关系.

x 仅从 x0 的左侧趋于 x0 记为 xx0, x 仅从 x0 的右侧趋于 x0 记为 xx0+.

xx0 的情形, xx0 的左侧, x<x0. 在 limxx0f(x)=A 的定义中, 把 0<|xx0|<δ 改为 x0δ<x<x0, 那么 A 就叫做函数 f(x)xx0 时的左极限, 记作

limxx0f(x)=Af(x0)=A.

类似的, 在 limxx0f(x)=A 的定义中, 把 0<|xx0|<δ 改为 x0<x<x0+δ, 那么 A 就叫做函数 f(x)xx0 时的右极限, 记作

limxx0+f(x)=Af(x0+)=A.

左极限与右极限统称为单侧极限.

函数 f(x)xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等,即 f(x0)=f(x0+). 因此, 即使 f(x0)f(x0+) 都存在, 但若不相等, 则 limxx0f(x) 也不存在.

2. 自变量趋于无穷大时函数的极限#

定义: 设函数 f(x)|x| 大于某一正数时有定义. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ε (无论它多么小), 从存在着正数 X, 使得当 x 满足不等式 |x|>X 时, 对应的函数值 f(x) 都不满足不等式

|f(x)A|<ε,

那么常数 A 就叫做函数 f(x)x 时的极限, 记作

limxf(x)=Af(x)A(x).

简单表达为

limxf(x)=Aε>0,X>0,|x|>X,|f(x)A|<ε.

在几何上, limxf(x)=A, 直线 y=A 是函数 y=f(x) 的图形的水平渐近线.

函数极限的性质#

定理 1 (函数极限的唯一性) : 如果 limxx0f(x) 存在, 那么这极限唯一.

定理 2 (函数极限的局部有界性) : 如果 limxx0f(x)=A, 那么存在常数 M>0δ>0, 使得当 0<|xx0|<δ 时, 有 |f(x)|M.


定理 3 (函数极限的局部保号性) : 如果 limxx0f(x)=A, 且 A>0(A<0), 那么存在常数 δ>0, 使得当 0<|xx0|<δ 时, 有 f(x)>0(f(x)<0).

证明:

A>0.limxx0f(x)=A>0,,ε=A2>0,δ>0,0<|xx0|<δ,|f(x)A|<A2f(x)>AA2=A2>0.A<0.

从证明中可知, 在定理 3 的条件下, 可得下面更强的结论:

定理 3: 如果 limxx0f(x)=A(A0), 那么就存在着 x0 的某一去心邻域 U(x0) 时, 就有 |f(x)>|A|2.

推论: 如果在 x0 的某去心邻域内 f(x)0(f(x)0), 而且 limxx0f(x)=A, 那么 A0(A0)


定理 4 (函数极限与数列极限的关系) : 如果极限 limxx0f(x) 存在, {xn} 为函数 f(x) 的定义域内任一收敛于 x0 的数列, 且满足: xnx0(nN+), 那么存在相应的函数值数列 {f(xn)} 必收敛, 且 limnf(xn)=limxx0f(x).

作者:yifan0305

出处:https://www.cnblogs.com/yifan0305/p/17745415.html

版权:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

转载时还请标明出处哟!

posted @   yi_fan0305  阅读(101)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 地球OL攻略 —— 某应届生求职总结
· 周边上新:园子的第一款马克杯温暖上架
· Open-Sora 2.0 重磅开源!
· 提示词工程——AI应用必不可少的技术
· .NET周刊【3月第1期 2025-03-02】
more_horiz
keyboard_arrow_up light_mode palette
选择主题
menu
点击右上角即可分享
微信分享提示