「高等数学」1.2 数列的极限

数列极限的定义#

数列概念: 如果按照某一法则, 对每个 $n \in \mathbf{N_{+}}$, 对应着一个确定的实数 $x_n$, 这些实数按照下标 $n$ 从小到大排列得到的一个序列

$$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$$

就叫做数列，简记为数列 $\left \{ x_n \right \}$.

数列中的每一个数叫做数列的项, 第 $n$ 项 $x_n$ 叫做数列的一般项 (或通项).

例如:

$$2, 4, 8, \dots, 2^n, \dots$$

它的一般项是 $2^n$.

数列 $\left \{ x_n \right \}$ 可看作自变量为正整数 $n$ 的函数

$$x_n = f(n), n \in \mathbf{N_{+}}.$$

当自变量 $n$ 依次取 $1, 2, 3, \dots$ 一切正整数时, 对应的函数值就排列成了数列 $\left \{ x_n \right \}$.

数列极限的定义: 设 $\left \{ x_n \right \}$ 为一数列, 如果存在常数 $a$, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$ (无论它多么小), 总存在正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，不等式

$$|x_n - a| < \varepsilon$$

都成立, 那么就称常数 $a$ 是数列 $\left \{ x_n \right \}$ 的极限, 或者称数列 $\left \{ x_n \right \}$ 收敛于 $a$, 记为

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a,$$

或

$$x_n \rightarrow a (n \rightarrow \infty).$$

如果不存在这样的常数 $a$, 就说数列 $x_n$ 没有极限, 或者说数列 $\left \{ x_n \right \}$ 是发散的, 习惯上也说 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在.

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist 正整数 N, 当 n > N 时, 有 |x_n - a| < \varepsilon.$$

收敛数列的性质#

定理 $1$ (极限的唯一性): 如果数列 $\left \{ x_n \right \}$ 收敛, 那么它的极限唯一.

可用反证法证明.

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对于数列 $\left \{ x_n \right \}$, 如果存在正数 $M$, 使得对于一切 $x_n$ 都满足不等式

$$|x_n| \le M,$$

那么称数列 $\left \{ x_n \right \}$ 是有界的; 如果这样的正数 $M$ 不存在, 就说数列 $\left \{ x_n \right \}$ 是无界的. 数轴上对应于有界数列的点 $x_n$ 都落在某个闭区间 $\left [ -M, M \right ]$ 上.

定理 $2$ (收敛数列的有界性): 如果数列 $\left \{ x_n \right \}$ 收敛, 那么数列 $\left \{ x_n \right \}$ 一定有界.

$$数列收敛 \Rightarrow 数列有界\\ 数列有界不能推出数列收敛，例如数列\\ 1, -1, 1, \dots, (-1) ^{n + 1}, \dots\\ 有界, 但这个数列是发散的.$$

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定理 $3$ (收敛数列的保号性): 如果 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, 且 $a > 0$ (或 $a < 0$), 那么存在正整数 $N$, 当 $n > N$ 时, 都有 $x_n > 0$ (或 $x_n < 0$).

推论: 如果数列 $\left \{ x_n \right \}$ 从某项起有 $x_n \ge 0$ (或 $x_n \le 0$), 且 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, 那么 $a \ge 0$ (或 $a \le 0$ ).

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在数列 $\left \{ x_n \right \}$ 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列 $\left \{ x_n \right \}$ 中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列 $\left \{ x_n \right \}$ 的子数列 (或子列).

设在数列 $\left \{ x_n \right \}$ 中, 第一次抽取 $x_{n_1}$, 第二次在 $x_{n_1}$ 后抽取 $x_{n_2}$, 第三次在 $x_{n_2}$ 后抽取 $x_{n_3}$, $\cdots \ \cdots$, 这样无休止地抽取下去, 得到一个数列

$$x_{n_1}, x_{n_2}, \dots, x_{n_k}, \dots,$$

这个数列 $\left \{ x_{n_k} \right \}$ 就是数列 $\left \{ x_n \right \}$ 的一个子数列.

在子数列 $\left \{ x_{n_k} \right \}$ 中, 一般项 $x_{n_k}$ 是第 $k$ 项, 而 $x_{n_k}$ 在原数列 $\left \{ x_n \right \}$ 中却是第 $n_k$ 项, 很显然 $n_k \ge k$.

定理 $4$ (收敛数列与其子数列间的关系): 如果数列 $\left \{ x_n \right \}$ 收敛于 $a$, 那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是 $a$.

如果数列 $\left \{ x_n \right \}$ 有两个子数列收敛于不同的极限, 那么数列 $\left \{ x_n \right \}$ 是发散的, 同时也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列.