「高等数学」1.2 数列的极限

数列极限的定义

数列概念: 如果按照某一法则, 对每个 \(n \in \mathbf{N_{+}}\), 对应着一个确定的实数 \(x_n\), 这些实数按照下标 \(n\) 从小到大排列得到的一个序列

\[x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots \]

就叫做数列，简记为数列 \(\left \{ x_n \right \}\).

数列中的每一个数叫做数列的项, 第 \(n\) 项 \(x_n\) 叫做数列的一般项 (或通项).

例如:

\[2, 4, 8, \dots, 2^n, \dots \]

它的一般项是 \(2^n\).

数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 可看作自变量为正整数 \(n\) 的函数

\[x_n = f(n), n \in \mathbf{N_{+}}. \]

当自变量 \(n\) 依次取 \(1, 2, 3, \dots\) 一切正整数时, 对应的函数值就排列成了数列 \(\left \{ x_n \right \}\).

数列极限的定义: 设 \(\left \{ x_n \right \}\) 为一数列, 如果存在常数 \(a\), 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (无论它多么小), 总存在正整数 \(N\), 使得当 \(n > N\) 时，不等式

\[|x_n - a| < \varepsilon \]

都成立, 那么就称常数 \(a\) 是数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 的极限, 或者称数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 收敛于 \(a\), 记为

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a, \]

或

\[x_n \rightarrow a (n \rightarrow \infty). \]

如果不存在这样的常数 \(a\), 就说数列 \(x_n\) 没有极限, 或者说数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 是发散的, 习惯上也说 \(\lim_{n \to \infty} x_n\) 不存在.

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exist 正整数 N, 当 n > N 时, 有 |x_n - a| < \varepsilon. \]

收敛数列的性质

定理 \(1\) (极限的唯一性): 如果数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 收敛, 那么它的极限唯一.

可用反证法证明.

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对于数列 \(\left \{ x_n \right \}\), 如果存在正数 \(M\), 使得对于一切 \(x_n\) 都满足不等式

\[|x_n| \le M, \]

那么称数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 是有界的; 如果这样的正数 \(M\) 不存在, 就说数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 是无界的. 数轴上对应于有界数列的点 \(x_n\) 都落在某个闭区间 \(\left [ -M, M \right ]\) 上.

定理 \(2\) (收敛数列的有界性): 如果数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 收敛, 那么数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 一定有界.

\[数列收敛 \Rightarrow 数列有界\\ 数列有界不能推出数列收敛，例如数列\\ 1, -1, 1, \dots, (-1) ^{n + 1}, \dots\\ 有界, 但这个数列是发散的. \]

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定理 \(3\) (收敛数列的保号性): 如果 \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\), 且 \(a > 0\) (或 \(a < 0\)), 那么存在正整数 \(N\), 当 \(n > N\) 时, 都有 \(x_n > 0\) (或 \(x_n < 0\)).

推论: 如果数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 从某项起有 \(x_n \ge 0\) (或 \(x_n \le 0\)), 且 \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\), 那么 \(a \ge 0\) (或 \(a \le 0\) ).

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在数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 的子数列 (或子列).

设在数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 中, 第一次抽取 \(x_{n_1}\), 第二次在 \(x_{n_1}\) 后抽取 \(x_{n_2}\), 第三次在 \(x_{n_2}\) 后抽取 \(x_{n_3}\), \(\cdots \ \cdots\), 这样无休止地抽取下去, 得到一个数列

\[x_{n_1}, x_{n_2}, \dots, x_{n_k}, \dots, \]

这个数列 \(\left \{ x_{n_k} \right \}\) 就是数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 的一个子数列.

在子数列 \(\left \{ x_{n_k} \right \}\) 中, 一般项 \(x_{n_k}\) 是第 \(k\) 项, 而 \(x_{n_k}\) 在原数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 中却是第 \(n_k\) 项, 很显然 \(n_k \ge k\).

定理 \(4\) (收敛数列与其子数列间的关系): 如果数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 收敛于 \(a\), 那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是 \(a\).

如果数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 有两个子数列收敛于不同的极限, 那么数列 \(\left \{ x_n \right \}\) 是发散的, 同时也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列.