「学习笔记」逆元

定义#

如果一个线性同余方程 $ax \equiv 1 \pmod b$，则 $x$ 称为 $a \bmod b$ 的逆元，记作 $a^{-1}$。

如何求逆元#

利用费马小定理#

前置知识：费马小定理。

「学习笔记」欧拉定理和费马小定理

如果 $b$ 是质数，那么 $a^{b - 1} \equiv 1\pmod b$，即 $a \times a^{b - 2} \equiv 1 \pmod b$，逆元 $x = a^{b - 2}$。

我们可以用快速幂来实现。

快速幂代码：

ll qpow(ll x, ll y, ll mod) {
    ll res = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) {
            res = res * x % mod;
        }
        y >>= 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return res % mod;
}

利用扩展欧几里得算法#

前置知识：扩展欧几里得算法。

「学习笔记」扩展欧几里得定理与线性同余方程

利用扩展欧几里得算法求解，就是解不定方程 $ax \equiv 1 \pmod b$。

$$ax \equiv 1 \pmod b\\ \Downarrow\\ ax + by = 1\\ $$

接下来按照扩展欧几里得算法解不定方程来做就行了。

$ax + by \equiv c$ 的有解的要求是 $c$ 是 $\gcd(a, b)$ 的倍数，因此欧几里得算法求逆元的要求是 $a \perp b$。

扩展欧几里得算法的代码如下：

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int g = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return g;
}

线性求逆元#

$1$ 的逆元为 $1$，这是我们推算其他数的逆元的基础。

对于一个模数 $p$，我们设 $k = \left \lfloor \dfrac{p}{i} \right \rfloor, j = p \bmod i$，则 $p = k \cdot i + j$，在 $\pmod p$ 意义下，$k \cdot i + j \equiv 0 \pmod p$，移项得 $j \equiv -k \cdot i$，同余式两边同乘 $j^{-1} \cdot i^{-1}$ 得 $i^{-1} \equiv -k \cdot j^{-1}$，将 $k = \left \lfloor \dfrac{p}{i} \right \rfloor, j = p \bmod i$ 得 $i^{-1} \equiv - \left \lfloor \dfrac{p}{i} \right \rfloor \cdot (p \bmod i)^{-1}$，我们可以用 $p - \left \lfloor \dfrac{p}{i} \right \rfloor$ 来代替 $- \left \lfloor \dfrac{p}{i} \right \rfloor$ 这个负数。

最后的递推公式：$i^{-1} \equiv \left ( p - \left \lfloor \dfrac{p}{i} \right \rfloor \right ) \cdot \left (p \bmod i \right )^{-1} \pmod p$

代码：

#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))

const int N = 3e6 + 5;

int n, p;
ll inv[N];

int main() {
    n = read<int>(), p = read<int>();
    inv[1] = 1;
    rep (i, 2, n, 1) {
        inv[i] = 1ll * (p - (p / i)) * inv[p % i] % p;
    }
    rep (i, 1, n, 1) {
        cout << inv[i] << '\n';
    }
    return 0;
}

线性求任意 n 个数的逆元#

给定任意 $n$ 个数，要求线性时间复杂度求出这 $n$ 个数的逆元。

先预处理出前 $n$ 个数的前缀积 $pro$，随后处理出 $pro_n$ 的逆元 $inv_n$，即 $inv_n = (s_1 \cdot s_2 \cdot s_3 \dots s_n) ^ {-1}$，$s_i$ 的逆元 $s_i^{-1} = inv_n \cdot pro_{i - 1} \cdot \prod_{j = i + 1}^{n} s_j$，这样就能线性求出任意 $n$ 个数的逆元了。

#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))

rep (i, 1, n, 1) {
    s[i] = read<ll>();
}
pro[0] = 1;
rep (i, 1, n, 1) {
    pro[i] = pro[i - 1] * s[i] % mod;
}
inv[n] = qpow(pro[n], mod - 2);
per (i, n, 1, 1) {
    inv[i - 1] = inv[i] * s[i] % mod;
}
rep (i, 2, n, 1) {
    inv[i] = inv[i] * pro[i - 1] % mod;
}

线性求阶乘的逆元#

阶乘计算公式：$n! = \prod_{i = 1}^{n} i$，$0! = 1$

与上面“线性求任意 $n$ 个数的逆元”一样的道理，先预处理出阶乘 $fac$，随后我们算出 $fac_n$ 的逆元 $inv_n (inv_n = n!^{-1})$，然后可以通过倒叙枚举来求出每个阶乘的逆元。

#define rep(i, a, b, c) for (int i = (a); i <= (b); i += (c))
#define per(i, a, b, c) for (int i = (a); i >= (b); i -= (c))

fac[0] = 1;
rep (i, 1, n, 1) {
    fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}
inv[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
per (i, n, 1, 1) {
    inv[i - 1] = inv[i] * i % mod;
}