「高等数学」1.1.1 映射

映射概念#

定义: 设 $X, Y$ 是两个非空集合, 如果存在一个法则 $f$, 使得对 $X$ 中的每个元素 $x$, 按法则 $f$, 在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应, 那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射, 记作

$$f: X \rightarrow Y,$$

其中 $y$ 称为元素 $x$ (在映射 $f$ 下) 的像, 并记作 $f(x)$, 即

$$y = f(x),$$

而元素 $x$ 称为元素 $y$ (在映射 $f$ 下) 的原像; 集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域, 记作 $D_f$, 即 $D_f = X$; $X$ 中的所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域, 记作 $R_f$ 或 $f(x)$, 即

$$R_f = f(X) = \{f(x) | x \in X \}.$$

值得注意的是:
$D_f = X, R_f \subset Y$, 不一定 $R_f = Y$;
对于每个 $x \in X$, 元素 $x$ 的像 $y$ 是唯一的; 而对于每个 $y \in R_f$, 元素 $y$ 的原根不一定是唯一的.

---

设 $f$ 是从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的映射, 若 $R_f = Y$, 即 $Y$ 中任意元素 $y$ 都是 $X$ 中某元素的像, 则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 上的映射或满射 (注意这里与前面 "从 $X$ 到 $Y$ 的映射"不一样); 若对 $X$ 中任意两个不同元素 $x_1 \ne x_2$, 他们的像 $f(x_1) \ne f(x_2)$, 则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的单射; 若映射 $f$ 既是单设, 又是满射, 则称 $f$ 为一一对应 (或双射).

---

映射又称为算子. 在不同的数学分支, 映射有不同的惯用名称.
从非空集 $X$ 到数集 $Y$ 的映射又称为 $X$ 上的泛函, 从非空集 $X$ 到它自身的映射又称为 $X$ 上的变换, 从实数集 (或其子集) $X$ 到实数集 $Y$ 的映射通常称为定义在 $X$ 上的函数.

逆映射与复合映射#

设 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的单射, 则由定义, 对每个 $y \in R_f$, 有唯一的 $x \in X$, 适合 $f(x) = y$.
于是, 我们可以定义一个从 $R_f$ 到 $X$ 的新映射 $g$, 即

$$g: R_f \rightarrow X,$$

对每个 $y \in R_f$, 规定 $g(y) = x$, 这个 $x$ 满足 $f(x) = y$. 这个映射 $g$ 称为 $f$ 的逆映射, 记作 $f^{-1}$, 其定义域 $D_{f^{-1}} = R_f$, 值域 $R_{f^{-1}} = X$.
只有单射才存在逆映射.

---

设有两个映射

$$g:X \rightarrow Y_1, \quad f:Y_2 \rightarrow Z$$

其中 $Y_1 \subset Y_2$, 则由映射 $g$ 和 $f$ 可以定出一个从 $X$ 到 $Z$ 的对应法则, 它将每个 $x \in X$ 映成 $f[g(x)] \in Z$. 显然, 这个对应法则确定了一个从 $X$ 到 $Z$ 的映射, 这个映射称为映射 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射, 记作 $f \circ g$, 即

$$f \circ g: X \rightarrow Z, (f \circ g)(x) = f[g(x)], x \in X.$$

由复合映射的定义可知, 映射 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射的条件是: $g$ 的值域 $R_g$ 必须包含在 $f$ 的定义域内, 即 $R_g \subset D_f$. 否则不能构成复合映射. 由此可知, 映射 $g$ 和 $f$ 的复合是有顺序的, $f \circ g$ 有意义并不表示 $g \circ f$ 也有意义. 即使 $f \circ g$ 与 $g \circ f$ 都有意义, 复合映射 $f \circ g$ 与 $g \circ f$ 也未必相同.

例题#

设有映射 $g: \mathbf{R} \rightarrow [-1, 1]$, 对每个 $x \in \mathbf{R}$, $g(x) = \sin x$; 映射 $f: [-1, 1] \rightarrow [0, 1]$, 对每个 $u \in [-1, 1]$, $f(u) = \sqrt{1 - u^2}$, 则映射 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射 $f \circ g: \mathbf{R} \rightarrow [0, 1]$, 对于每个 $x \in \mathbf{R}$, 有

$$(f \circ g) (x) = f[g(x)] = f(\sin x) = \sqrt{1 - \sin^2 x} = |\cos x|$$