「高等数学」1.1.1 映射
映射概念
定义: 设 \(X, Y\) 是两个非空集合, 如果存在一个法则 \(f\), 使得对 \(X\) 中的每个元素 \(x\), 按法则 \(f\), 在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应, 那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射, 记作
其中 \(y\) 称为元素 \(x\) (在映射 \(f\) 下) 的像, 并记作 \(f(x)\), 即
而元素 \(x\) 称为元素 \(y\) (在映射 \(f\) 下) 的原像; 集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域, 记作 \(D_f\), 即 \(D_f = X\); \(X\) 中的所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域, 记作 \(R_f\) 或 \(f(x)\), 即
值得注意的是:
\(D_f = X, R_f \subset Y\), 不一定 \(R_f = Y\);
对于每个 \(x \in X\), 元素 \(x\) 的像 \(y\) 是唯一的; 而对于每个 \(y \in R_f\), 元素 \(y\) 的原根不一定是唯一的.
设 \(f\) 是从集合 \(X\) 到集合 \(Y\) 的映射, 若 \(R_f = Y\), 即 \(Y\) 中任意元素 \(y\) 都是 \(X\) 中某元素的像, 则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射或满射 (注意这里与前面 "从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射"不一样); 若对 \(X\) 中任意两个不同元素 \(x_1 \ne x_2\), 他们的像 \(f(x_1) \ne f(x_2)\), 则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的单射; 若映射 \(f\) 既是单设, 又是满射, 则称 \(f\) 为一一对应 (或双射).
映射又称为算子. 在不同的数学分支, 映射有不同的惯用名称.
从非空集 \(X\) 到数集 \(Y\) 的映射又称为 \(X\) 上的泛函, 从非空集 \(X\) 到它自身的映射又称为 \(X\) 上的变换, 从实数集 (或其子集) \(X\) 到实数集 \(Y\) 的映射通常称为定义在 \(X\) 上的函数.
逆映射与复合映射
设 \(f\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的单射, 则由定义, 对每个 \(y \in R_f\), 有唯一的 \(x \in X\), 适合 \(f(x) = y\).
于是, 我们可以定义一个从 \(R_f\) 到 \(X\) 的新映射 \(g\), 即
对每个 \(y \in R_f\), 规定 \(g(y) = x\), 这个 \(x\) 满足 \(f(x) = y\). 这个映射 \(g\) 称为 \(f\) 的逆映射, 记作 \(f^{-1}\), 其定义域 \(D_{f^{-1}} = R_f\), 值域 \(R_{f^{-1}} = X\).
只有单射才存在逆映射.
设有两个映射
其中 \(Y_1 \subset Y_2\), 则由映射 \(g\) 和 \(f\) 可以定出一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的对应法则, 它将每个 \(x \in X\) 映成 \(f[g(x)] \in Z\). 显然, 这个对应法则确定了一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的映射, 这个映射称为映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射, 记作 \(f \circ g\), 即
由复合映射的定义可知, 映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射的条件是: \(g\) 的值域 \(R_g\) 必须包含在 \(f\) 的定义域内, 即 \(R_g \subset D_f\). 否则不能构成复合映射. 由此可知, 映射 \(g\) 和 \(f\) 的复合是有顺序的, \(f \circ g\) 有意义并不表示 \(g \circ f\) 也有意义. 即使 \(f \circ g\) 与 \(g \circ f\) 都有意义, 复合映射 \(f \circ g\) 与 \(g \circ f\) 也未必相同.
例题
设有映射 \(g: \mathbf{R} \rightarrow [-1, 1]\), 对每个 \(x \in \mathbf{R}\), \(g(x) = \sin x\); 映射 \(f: [-1, 1] \rightarrow [0, 1]\), 对每个 \(u \in [-1, 1]\), \(f(u) = \sqrt{1 - u^2}\), 则映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射 \(f \circ g: \mathbf{R} \rightarrow [0, 1]\), 对于每个 \(x \in \mathbf{R}\), 有
