「学习笔记」证明球的体积

为啥写这个呢?
起因是今天下午生物的补课,下课后 zzx 问了我这个问题,一开始没答上来,后来自己认真推了推,然后推出来了,再然后就想写一下过程,以防自己忘了。


在数学课本上,我们知道,V=43πR3,而接下来,我们则来证明这个公式的正确性。

证明#

如图
image
这是两个底面积和高都相等的集合体,左边是半圆,右边是圆柱体从中间挖去了一个圆锥,这个圆锥与圆柱体同底等高。
在此之前,我们要知道一个原理——祖暅原理。

祖暅原理:界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等。

我们将它们变成平面图形,如下图:
image

我们设 KL 这条平行线为截面,AI=KI=JI=R()KL=rLI=PE=xOP=l
有题目可知,MP=NE=R
由图像可知 r2=R2x2,lR=xR
所以 l=x,进而得出 r2=R2l2
接下来我们来算截面的面积
S1=πr2,S2=π(R2l2)=πr2
因此,S1=S2
由祖暅原理可知,这两个集合体的体积相等,即 V=πR313×πR3=23πR3
所以,球体的体积为 V=2×V=2×23πR3=43πR3

作者:yifan0305

出处:https://www.cnblogs.com/yifan0305/p/17458243.html

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