「学习笔记」概率与期望

样本点与样本空间#

$A = \left \{ 1, 2, 3 \right \}$
$1, 2, 3$ 为样本点，$A$ 为样本空间。

$$A = \left \lbrace 1, 2, 3 \right \rbrace\\ B = \left \lbrace 2, 3, 4 \right \rbrace\\ A \cap B = \left \lbrace 2, 3 \right \rbrace = A \cdot B\\ A \cup B = \left \lbrace 1, 2, 3, 4 \right \rbrace = A + B\\ A - B(把 A 里面在 B 中出现过的元素扔掉) = \left \lbrace 1 \right \rbrace = A - A \cdot B$$

概率#

概率为样本空间的每一个时间定义一个实数，这个实数称为概率。事件 $A$ 的概率称为 $P \left ( A \right )$。

一个事件的概率等于事件中每个样本点的概率之和。

$$0 \le P(A) \le 1\\ \sum_{i = 1}^n P(B_i) = 1\\ P(A) = 0，则事件 A 为不可能事件\\ P(A) = 1，则事件 A 为必然事件\\ $$

条件概率#

$P \left (A| B \right )$：$B$ 发生的情况下 $A$ 发生的概率。

$$A = \left \lbrace 1 \right \rbrace\\ B = \left \lbrace 1, 2, 3 \right \rbrace\\ P \left ( A | B \right ) = \dfrac{1}{3}\\ A = \left \lbrace 1, 2, 3 \right \rbrace\\ B = \left \lbrace 1, 3, 5 \right \rbrace\\ P \left ( A | B \right ) = \dfrac{2}{3}\\ $$

$P\left ( A|B \right ) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} \Rightarrow P \left ( A | B \right ) P \left ( B \right ) = P \left ( A \cdot B \right )$

独立事件#

如果事件 $A, B$ 满足 $P \left( A \right) P \left ( B \right ) = P \left (A \cdot B \right)$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 为相互独立事件。
证明：

$$P \left( A \right) P \left ( B \right ) = P \left (A \cdot B \right)\\ P \left ( A | B \right ) \cdot P \left( B \right ) = P \left ( A \cdot B \right )\\ P \left ( A \right ) = P \left ( A | B \right )\\ $$

$P \left ( A \right ) = P \left ( A | B \right )$，说明事件 $A$ 是否发生与事件 $B$ 是否发生无关，因此事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立。
生活中的相互独立事件：扔两次骰子。

期望#

每种情况的权值与概率的乘积的和称为期望。

有 $10$ 个测试点，$50 \%$ 概率答案是 YES，$50 \%$ 概率答案是 NO，现在，程序为 cout << "YES";，问最后的期望。

$$\begin{cases} & YES \quad P = \dfrac{1}{2} \quad val = 5\\ & NO \quad P = \dfrac{1}{2} \quad val = 0\\ \end{cases}\\ \dfrac{1}{2} \times 10 + \dfrac{1}{2} \times 0 + \cdots = 50$$

期望的和等于和的期望。

$$\begin{aligned} &1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6\\ x_1 \quad &\dfrac{1}{6} \quad \dfrac{1}{6} \quad \dfrac{1}{6} \quad \dfrac{1}{6} \quad \dfrac{1}{6} \quad \dfrac{1}{6} \quad\\ x_2 \quad &\dfrac{1}{100} \quad \dfrac{1}{100} \quad \dfrac{1}{100} \quad \dfrac{1}{100} \quad \dfrac{1}{100} \quad \dfrac{95}{100}\\ \end{aligned}\\ 求 E \left[ x_1 + x_2 \right ]$$

解：

$$E \left [ x_1 + x_2 \right ] = E \left [x_1 \right ] + E \left[ x_2 \right]\\ E \left [ x_1 + x_2 \right ] = \dfrac{1}{6} \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + \dfrac{1}{100} \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + \dfrac{95}{100} \cdot 6$$

数学题#

假设有 $3$ 张形状相同的卡片，其中一张两面都是黑色，一张两面都是红色，另一张是一张红一张黑，随机取出一张放在桌面上，朝上的面为红色，那么另一面是黑色的概率是多少？

$$P(下黑|上红) = \dfrac{P(下黑，上红)}{P(上红)} = \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \dfrac{1}{3}$$

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$n$ 个人按一顺序一次抓阄，每个人抓完阄后立即打开，当某个人抓到“中”时，整个抓阄过程结束（后面的人就不必再抓了），问这种抓阄方式是否公平，请说明理由。

公平；
第一个人抓到“中”的概率：$\dfrac{1}{n}$；
第二个人抓到“中”的概率：$\dfrac{n-1}{n} \times \dfrac{1}{n - 1} = \dfrac{1}{n}$
第三个人抓到“中”的概率：$\dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-2}{n-1} \cdot \dfrac{1}{n - 2} = \dfrac{1}{n}$
依此类推，每个人抓到“中”的概率都为 $\dfrac{1}{n}$，所以，游戏是公平的。

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设男女两性人口之比为 $51:49$，有设男人色盲率为 $2\%$，女人色盲率为 $0.25\%$，先随机抽到一个人为色盲，问“该人为男人”的概率是多少？

$$\begin{aligned} &P(该人为男人|该人是色盲) \\ &= \dfrac{P(该人为男人且是色盲)}{P(该人是色盲)}\\ &= \dfrac{51\% \cdot 2\%}{51\% \cdot 2\% + 49\% \cdot 0.25\%} \end{aligned}$$

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一个人左右口袋各放一盒火柴，每盒 $n$ 支，每次抽烟时随机选一盒拿出一支用掉，由于习惯的问题，选右面口袋的概率是 $p > \dfrac{1}{2}$。到某次他发现取出的这一盒已经空了，求这时另一盒恰有 $m$ 支火柴的概率。

• 当左边的盒子空了

方向	概率	数量	取了几次
左	$1 - p$	$n$	$n + 1$
右	$p$	$n$	$n - m$

为什么是 $n + 1$ 次呢？
很简单，他再取一次才发现空了的。
$(1 - p) ^ {n + 1} p ^{n - m}$
这 $2n + 1 - m$ 次，最后一次一定是左边。
即在 $2n - m$ 个位置中找 $n$ 个位置填上“左”,$C(2n - m, n)$，
$P = (1 - p)^{n + 1}p^{n - m} \cdot C(2n - m, n)$。

• 当右边的盒子空了

方向	概率	数量	取了几次
左	$1 - p$	$n$	$n - m$
右	$p$	$n$	$n + 1$

$(1 - p) ^ {n - m} p ^{n + 1}$
这 $2n + 1 - m$ 次，最后一次一定是右边。
即在 $2n - m$ 个位置中找 $n$ 个位置填上“右”,$C(2n - m, n)$，
$P = (1 - p)^{n - m}p^{n + 1} \cdot C(2n - m, n)$。

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在小葱和小泽面前有三瓶药，其中有两瓶是毒药，每个人必须喝一瓶
小葱和小泽各自选了一瓶药，小泽手速比较快将要喝了下去，然后挂了。
小葱想活下去，他应该喝掉手上的这瓶，还是换一瓶。

我们假设 $1$ 是好药，$2, 3$ 是毒药。

$$\begin{cases} &第一瓶 \quad 第二瓶\\ &1 \begin{cases} 2,P = \dfrac{1}{6}\\ 3,P = \dfrac{1}{6}\\ \end{cases}\\ &2 \begin{cases} 1,P = \dfrac{1}{6}\\ 3,P = \dfrac{1}{6}\\ \end{cases}\\ &3 \begin{cases} 1,P = \dfrac{1}{6}\\ 2,P = \dfrac{1}{6}\\ \end{cases} \end{cases}$$

$P(好|挂) = \dfrac{P(好,挂)}{P(挂)} = \dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{4}{6}} = \dfrac{1}{2}$
这个问题与三门问题不一样的地方在于：主持人知道每扇门后的情况，而小泽不知道那瓶药是毒药，因此有了不同的结果。

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小胡站在原点，手里拿着两枚硬币。抛第一枚硬币正面向上的概率为 $p$，第二枚正面向上的概率为 $q$。
小胡开始抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向 $x$ 轴正方向走一步，直到抛到正面。
接下来小胡继续抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向 $y$ 轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在小胡想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，如果小胡抛到正面小胡就向 $x$ 轴的负方向走一步，否则小胡就向 $y$ 轴的负方向走一步。
现在小胡想知道他在往回走的时候经过原点的概率是多少呢？

设最右上角的点为 $(x, y)$。

• 阶段一
  从 $(0, 0)$ 到 $(x, 0)$ ，需要走 $x$ 次反面，再抛一次正面。
  $P = (1 - p)^{x} \cdot p$
• 阶段二
  从 $(x, 0)$ 走到 $(x, y)$，需要抛 $y$ 次反面，再抛一次正面。
  $P = (1 - p)^y \cdot p$
• 阶段三
  走回来，要抛 $x$ 次正面，$y$ 次反面。
  $P = q^x \cdot (1 - q)^y \cdot C(x + y, x)$

$$\sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{y = 0}^{\infty} (1 - p)^x \cdot p \cdot (1 - p)^y \cdot p \cdot q^x \cdot (1 - q)^y \cdot C(x + y, x)\\ = \sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{y = 0}^{\infty} \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{x+y} \cdot (1 - p)^y \cdot q^x \cdot (1 - q)^y \cdot C(x + y, x)$$

令 $t = x + y$，则

$$\begin{aligned} & \sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{y = 0}^{\infty} \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{x+y} \cdot (1 - p)^y \cdot q^x \cdot (1 - q)^y \cdot C(x + y, x)\\ & = \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{t} p^2 \cdot (1 - p)^t \cdot q^x \cdot (1 - q)^{t - x} \cdot C(t, x) \\ & = p^2 \sum_{t = 0}^{\infty}(1 - p)^t \sum_{x = 0}^t q^x \cdot (1 -q)^{t - x} \cdot C(t, x)\\ & = p^2 \sum_{t = 0}^{\infty}(1 - p)^t \cdot (1 + 1 - q)^t\\ & = p^2 \sum_{t = 0}^{\infty}(1 - p)^t\\ & = p^2 \cdot \dfrac{1 - (1 - p)^{\infty + 1}}{1 - (1 - p)}\\ & = p^2 \cdot \dfrac{1}{p} \quad (微积分极限思想)\\ & = p \end{aligned}$$

等比数列求和#

$$x = a^0 + a^1 + a^2 \cdot + a^n\\ ax = a^1 + a^2 + \cdots + a^n + a^{n + 1}\\ (1 - a)x = 1 - a^{n + 1}\\ x = \dfrac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}$$

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检验矩阵 $A \cdot B = C$ 是否成立。$(N \le 1000)$

随机若干个位置 $(i, j)$，如果 $\sum_{k = 1}^n A(i, k) \cdot B(k, j) \ne C(i, j)$，那么一定不成立。

能随机中的概率为 $\dfrac{1}{10^6}$

$$A \cdot B = C \Rightarrow A \cdot B \cdot D = C \cdot D \Rightarrow A \cdot (B \cdot D) = C \cdot D\\ D 为 n \times 1 的矩阵$$

随即若干个矩阵 $D$，多次判断 $A \cdot B \cdot D = C \cdot D$