「学习笔记」Floyd 的应用

求最短路#

for (int k = 1; k <= n; ++ k) {
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
		}
	}
}

求最小环#

过程#

记原图中 $u,v$ 之间边的边权为 $val\left(u, v\right)$。

我们注意到 Floyd 算法有一个性质：在最外层循环到点 $k$ 时（尚未开始第 $k$ 次循环），最短路数组 dis 中，$dis_{u, v}$ 表示的是从 $u$ 到 $v$ 且仅经过编号在 $\left[1, k\right)$ 区间中的点的最短路。
由最小环的定义可知其至少有三个顶点，设其中编号最大的顶点为 $w$，环上与 $w$ 相邻两侧的两个点为 $u,v$，则在最外层循环枚举到 $k = w$ 时，该环的长度即为 $dis_{u,v}+val\left(v,w\right)+val\left(w,u\right)$。
故在循环时对于每个 $k$ 枚举满足 $i < k ,j < k$ 的 $\left(i,j\right)$，更新答案即可。
时间复杂度： $O_{n^3}$

int floyd(int n) {
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			dis[i][j] = val[i][j];
		} 
	}
	int ans = inf;
	for (int k = 1; k <= n; ++ k) {
		for (int i = 1; i < k; ++ i) {
			for (int j = 1; j < i; ++ j) {
				ans = min(ans, dis[i][j] + val[i][k] + val[k][j]);
			}
		}
		for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
			for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
				dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]); 
			}
		}
	}
	return ans;
}

for (int k = 1; k <= n; ++ k) {
	for (int i = 1; i < k; ++ i) {
		for (int j = 1; j < i; ++ j) {
			ans = min(ans, dis[i][j] + val[i][k] + val[k][j]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]); 
		}
	}
}

第一个循环为找最小环，第二个循环为正常更新 dis 数组。

求任意两点的最短路径数#

记 g[x][y] 数组，再求最短路的时候一起维护即可。

for (int k = 1; k <= n; ++ k) {
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			if (dis[i][k] + dis[k][j] > dis[i][j]) {
				continue;
			}
			else if (dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]) {
				dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
				g[i][j] = g[i][k] * g[k][j];
			}
			else {
				g[i][j] += g[i][k] * g[k][j];
			}
		}
	}
}

传递闭包#

即已知一个有向图中任意两点之间是否有连边，要求判断任意两点是否连通。

for (int k = 1; k <= n; ++ k) {
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			dis[i][j] |= dis[i][k] & dis[k][j];
		}
	}
}