「学习笔记」从二项式定理到多项式定理

公式#

$$(a + b) ^ n = \sum^n_{i = 0} \dbinom{n}{i}a^ib^{n - i}$$

如果我们把 $\dbinom{n}{i}$ 全部列出来，你会发现它变成这样了

$$\quad \quad \quad \quad1 \quad \quad \quad \ (n = 0)\\ \quad \quad \quad 1 \quad 1 \quad \quad \ \ \ (n = 1)\\ \quad \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad \quad \ (n = 2)\\ \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad \ \ \ (n = 3)\\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \ \ \ \ \ (n = 4)\\ \cdots$$

发现了吗？杨辉三角！

证明#

我们先从一个简单的入手，$(a + b) ^ 2$
$(a + b) ^ 2$ 相当于 $(a + b)(a + b)$，我们做乘法，就是把每个括号里面各拿出一个数相乘，这个数可能是 $a$，也可能是 $b$，而每次都是 $2$ 个数相乘（因为它是二次方，所以只有两个括号），我们以 $a$ 为参照，那么会有两个数全是 $a$，只有一个数是 $a$，或者两个数都不是 $a$，即 $\dbinom{2}{2}、\dbinom{2}{1}、\dbinom{2}{0}$，$\dbinom{2}{2}$ 和 $\dbinom{2}{0}$ 比较好理解，这个 $\dbinom{2}{1}$ 怎么理解呢？可以这么理解，这个 $a$，可能是从第一个括号中拿出的，也可能是从第二个括号中拿出的，所以是 $\dbinom{2}{1}$
现在，系数搞定了，就剩字母了，其实这个更好证明，拿 $\dbinom{2}{0}$ 举例子，你都没选 $a$，那你的字母里面怎么可能会有 $a$，在 $\dbinom{2}{1}$ 中，你就只选了一个 $a$，那另一个就是 $b$，所以后面的式子为 $a^1b^{2 - 1}$，即 $ab$
我们可以在推广一下，自己手摸一下 $(a + b) ^ 3$，都是这个情况
最后，我们可以证明

$$(a + b) ^ n = \sum^n_{i = 0} \dbinom{n}{i}a^ib^{n - i}$$

是正确的。

扩展——多项式定理#

二项式定理可以扩展成多项式定理
在讲多项式定理之前，我们先继续深入了解一下二项式定理
我们知道，二项式定理的系数是 $\dbinom{n}{i}$，相当于在 $n$ 个括号中选了 $i$ 个 $a$的方案总数，那我们考虑一下，选 $a$ 有方案组合数，那，$b$ 有吗？
答案当然是有的，$b$ 的方案组合数为 $\dbinom{n - i}{n - i}$
证明：$n$ 个数，其中选了 $i$ 个数为 $a$，那么还剩下 $n - i$ 个数，由于我们只有 $a$ 和 $b$ 可选，所以选 $b$ 的方案数为 $\dbinom{n - i}{n - i}$，也就是 $1$，所以，二次项定理的最原本的面貌应该是

$$(a + b) ^ n = \sum^n_{i = 0} \dbinom{n}{i}a^i \dbinom{n - i}{n - i}b^{n - i}$$

因为 $\dbinom{n - i}{n - i} = 1$，所以二次项定理一般就写成了我们上面看到的那样，最初始的二次项系数应该是 $\dbinom{n}{i}\dbinom{n - i}{n - i}$
那么，二次项定理是怎么转化为多项式定理的呢？
其实，他们的原理都是一样的，就拿 $(a + b + c)^n$ 举例子
展开式子 $(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)\cdots(此处有 n 个相乘)$
我们从每个括号里可以选出 $a、b、c$ 三种数
设从 $n$ 个数中选 $n_1$ 个 $a$，选 $n_2$ 个 $b$，那么就是选 $n - n_1 - n_2$ 个 $c$
我们通过上面的二次项定理我们可以推测出这个三次项系数为 $\dbinom{n}{n_1} \dbinom{n - n_1}{n_2} \dbinom {n - n_1 - n_2}{n_3}$
把组合数公式 $\dbinom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$ 代入可得三次项系数的公式为
$\frac{n!}{n_1!(n - n_1)!} \cdot \frac{(n - n_1)!}{n_2!(n - n_1 - n_2)!} \cdot \frac{(n - n_1 - n_2)!}{n_3!(n - n_1 - n_2 - n_3)!}$
一约分得 $\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!(n - n_1 - n_2 - n_3)!}$，又因为 $n = n_1 + n_2 + n_3$，所以 $(n - n_1 - n_2 - n_3)! = 0! = 1$
所以可得最后的式子 $\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}$
在推广一下，则 $t$ 项式定理的系数为 $\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_t!}$，即 $\dbinom{n}{n_1, n_2, n_3 \cdots n_t}$

$\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_t!} = \dbinom{n}{n_1, n_2, n_3 \cdots n_t}$

同时可得多项式定理

$$(a + b + \cdots + t)^n(括号里有t个数) = \sum \dbinom{n}{n_1, n_2, n_3 \cdots n_t}a^{n_1}b^{n_2}c^{n_3}\cdots t^{n_t}$$

这里我们要枚举 $n_1、n_2、n_3、n_4、\cdots n_{t - 1}$
在这里再献上原始公式

$$\begin{aligned} (a + b + \cdots + t)^n &= \sum \dbinom{n}{n_1}a^{n_1}\dbinom{n - n_1}{n_2}b^{n_2}\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_3}c^{n_3}\cdots \dbinom{n - n_1 - n_2 - \cdots - n_{t - 1}}{n_t}t^{n_t}\\ &= \sum \dbinom{n}{n_1}a^{n_1}\dbinom{n - n_1}{n_2}b^{n_2}\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_3}c^{n_3}\cdots \dbinom{n_t}{n_t}t^{n_t}\\ &= \sum \dbinom{n}{n_1}a^{n_1}\dbinom{n - n_1}{n_2}b^{n_2}\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_3}c^{n_3}\cdots \times 1 \times t^{n_t} \end{aligned}$$

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