「学习笔记」从二项式定理到多项式定理

公式

\[(a + b) ^ n = \sum^n_{i = 0} \dbinom{n}{i}a^ib^{n - i} \]

如果我们把 \(\dbinom{n}{i}\) 全部列出来，你会发现它变成这样了

\[\quad \quad \quad \quad1 \quad \quad \quad \ (n = 0)\\ \quad \quad \quad 1 \quad 1 \quad \quad \ \ \ (n = 1)\\ \quad \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad \quad \ (n = 2)\\ \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad \ \ \ (n = 3)\\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \ \ \ \ \ (n = 4)\\ \cdots \]

发现了吗？杨辉三角！

证明

我们先从一个简单的入手，\((a + b) ^ 2\)
\((a + b) ^ 2\) 相当于 \((a + b)(a + b)\)，我们做乘法，就是把每个括号里面各拿出一个数相乘，这个数可能是 \(a\)，也可能是 \(b\)，而每次都是 \(2\) 个数相乘（因为它是二次方，所以只有两个括号），我们以 \(a\) 为参照，那么会有两个数全是 \(a\)，只有一个数是 \(a\)，或者两个数都不是 \(a\)，即 \(\dbinom{2}{2}、\dbinom{2}{1}、\dbinom{2}{0}\)，\(\dbinom{2}{2}\) 和 \(\dbinom{2}{0}\) 比较好理解，这个 \(\dbinom{2}{1}\) 怎么理解呢？可以这么理解，这个 \(a\)，可能是从第一个括号中拿出的，也可能是从第二个括号中拿出的，所以是 \(\dbinom{2}{1}\)
现在，系数搞定了，就剩字母了，其实这个更好证明，拿 \(\dbinom{2}{0}\) 举例子，你都没选 \(a\)，那你的字母里面怎么可能会有 \(a\)，在 \(\dbinom{2}{1}\) 中，你就只选了一个 \(a\)，那另一个就是 \(b\)，所以后面的式子为 \(a^1b^{2 - 1}\)，即 \(ab\)
我们可以在推广一下，自己手摸一下 \((a + b) ^ 3\)，都是这个情况
最后，我们可以证明

\[(a + b) ^ n = \sum^n_{i = 0} \dbinom{n}{i}a^ib^{n - i} \]

是正确的。

扩展——多项式定理

二项式定理可以扩展成多项式定理
在讲多项式定理之前，我们先继续深入了解一下二项式定理
我们知道，二项式定理的系数是 \(\dbinom{n}{i}\)，相当于在 \(n\) 个括号中选了 \(i\) 个 \(a\)的方案总数，那我们考虑一下，选 \(a\) 有方案组合数，那，\(b\) 有吗？
答案当然是有的，\(b\) 的方案组合数为 \(\dbinom{n - i}{n - i}\)
证明：\(n\) 个数，其中选了 \(i\) 个数为 \(a\)，那么还剩下 \(n - i\) 个数，由于我们只有 \(a\) 和 \(b\) 可选，所以选 \(b\) 的方案数为 \(\dbinom{n - i}{n - i}\)，也就是 \(1\)，所以，二次项定理的最原本的面貌应该是

\[(a + b) ^ n = \sum^n_{i = 0} \dbinom{n}{i}a^i \dbinom{n - i}{n - i}b^{n - i} \]

因为 \(\dbinom{n - i}{n - i} = 1\)，所以二次项定理一般就写成了我们上面看到的那样，最初始的二次项系数应该是 \(\dbinom{n}{i}\dbinom{n - i}{n - i}\)
那么，二次项定理是怎么转化为多项式定理的呢？
其实，他们的原理都是一样的，就拿 \((a + b + c)^n\) 举例子
展开式子 \((a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)\cdots(此处有 n 个相乘)\)
我们从每个括号里可以选出 \(a、b、c\) 三种数
设从 \(n\) 个数中选 \(n_1\) 个 \(a\)，选 \(n_2\) 个 \(b\)，那么就是选 \(n - n_1 - n_2\) 个 \(c\)
我们通过上面的二次项定理我们可以推测出这个三次项系数为 \(\dbinom{n}{n_1} \dbinom{n - n_1}{n_2} \dbinom {n - n_1 - n_2}{n_3}\)
把组合数公式 \(\dbinom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}\) 代入可得三次项系数的公式为
\(\frac{n!}{n_1!(n - n_1)!} \cdot \frac{(n - n_1)!}{n_2!(n - n_1 - n_2)!} \cdot \frac{(n - n_1 - n_2)!}{n_3!(n - n_1 - n_2 - n_3)!}\)
一约分得 \(\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!(n - n_1 - n_2 - n_3)!}\)，又因为 \(n = n_1 + n_2 + n_3\)，所以 \((n - n_1 - n_2 - n_3)! = 0! = 1\)
所以可得最后的式子 \(\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}\)
在推广一下，则 \(t\) 项式定理的系数为 \(\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_t!}\)，即 \(\dbinom{n}{n_1, n_2, n_3 \cdots n_t}\)

\(\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots n_t!} = \dbinom{n}{n_1, n_2, n_3 \cdots n_t}\)

同时可得多项式定理

\[(a + b + \cdots + t)^n(括号里有t个数) = \sum \dbinom{n}{n_1, n_2, n_3 \cdots n_t}a^{n_1}b^{n_2}c^{n_3}\cdots t^{n_t} \]

这里我们要枚举 \(n_1、n_2、n_3、n_4、\cdots n_{t - 1}\)
在这里再献上原始公式

\[\begin{aligned} (a + b + \cdots + t)^n &= \sum \dbinom{n}{n_1}a^{n_1}\dbinom{n - n_1}{n_2}b^{n_2}\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_3}c^{n_3}\cdots \dbinom{n - n_1 - n_2 - \cdots - n_{t - 1}}{n_t}t^{n_t}\\ &= \sum \dbinom{n}{n_1}a^{n_1}\dbinom{n - n_1}{n_2}b^{n_2}\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_3}c^{n_3}\cdots \dbinom{n_t}{n_t}t^{n_t}\\ &= \sum \dbinom{n}{n_1}a^{n_1}\dbinom{n - n_1}{n_2}b^{n_2}\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_3}c^{n_3}\cdots \times 1 \times t^{n_t} \end{aligned} \]

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