「学习笔记」欧拉定理和费马小定理

前置知识#

欧拉函数

欧拉定理#

内容：$a^{\varphi(p)} \equiv 1 \pmod p \quad (a \perp p)$
证明：
我们构造一个数列 $P = p_1, p_2, p_3, p_4, \ldots ,p_{\varphi(p)}$，这个数列中的数都与 $p$ 互质
因为 $p_i \perp p \quad (1 \le i \le \varphi(p))$，所以
$(p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)}) \perp p$
这个其实很好理解，他们之间都没有公因子，那么相乘也不会诞生出公因子
同时我们可以得到
$ap_i \perp p \quad (1 \le i \le \varphi(p)) \quad (a \perp p)$
证明:
我们假设 $ap_i \equiv ap_j \pmod p$

$$\begin{aligned} ap_i & \equiv ap_j \pmod p\\ ap_i - ap_j & \equiv 0 \pmod p\\ a(p_i - p_j) & \equiv 0 \pmod p\\ \end{aligned}$$

推导：#

$$\begin{aligned} & \because a(p_i - p_j) \equiv 0 \pmod p\\ & \therefore a(p_i - p_j) \mid p\\ & \because a \perp p\\ & \because (p_i - p_j) \mid p\\ & \because p_i - p_j < p\\ & \therefore 假设错误\\ & \therefore ap_i \perp p \quad (1 \le i \le \phi(p)) \quad (a \perp p)\\ &&\square \end{aligned}$$

$\because ap_i \perp p \quad (1 \le i \le \varphi(p)) \quad (a \perp p)$
$\therefore (ap_1 \cdot ap_2 \cdot ap_3 \cdot \ldots \cdot ap_{\varphi(p)}) \perp p$
现在，我们观察数列 $A = ap_1, ap_2, ap_3, \ldots, ap_{\varphi(p)}$ 中的数都不相等，且他们都与 $p$ 互质，而数列 $P$ 中的数也互不相等，且都与 $p$ 互质，我们可以推测出，在 $A$ 中的任意一个元素在 $\bmod p$ 意义下得到的余数一定在 $P$ 中有对应，所以我们可以得到

$$\begin{aligned} ap_1 \cdot ap_2 \cdot ap_3 \cdot \ldots \cdot ap_{\varphi(p)} & \equiv p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)} \quad \pmod p\\ a^{\varphi(p)} \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)} & \equiv p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)} \quad \pmod p\\ a^{\varphi(p)} & \equiv 1 \quad \pmod p\\ &&\square \end{aligned}$$

费马小定理#

其实，证完欧拉定理，你会发现，费马小定理其实是欧拉定理的特殊情况
费马小定理内容：$a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p \quad (p 为质数)$
证明：

$$\begin{aligned} & \because p为质数\\ & \therefore \varphi(p) = p - 1\\ & \because a^{\varphi(p)} \equiv 1 \quad \pmod p\\ & \therefore a^{p - 1} \equiv 1\\ &&\square \end{aligned}$$