「学习笔记」数论分块

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给定 $n \le 10^{10}$，求 $\sum_{i = 1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$
我们可以想到枚举，但是 $n \le 10^{10}$，你 $T$ 飞了
怎么办呢？
我们先举几个小的例子，例如 $n \le 10$

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$	$10$	$5$	$5$	$2$	$2$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

相信看到这，你就发现了，这一整个数列被分成了若干段，每段的长度以及所代表的答案都不同，但是我们可以直接算出来，$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 是这个答案所代表的值，$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor$ 是这个答案的块的右端点，$[l, r] = [l, \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor]$
下面是一些结论与推导
结论：$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 最多有 $2 \sqrt n$ 种不同的值
证明：
$1$、当 $1 \le i \le \sqrt n$，$i$ 有 $\sqrt n$ 种，所以 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 最多有 $\sqrt n$ 种不同的值
$2$、当 $i > \sqrt n$，$1 \le \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \le \sqrt n$，$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 也最多有 $\sqrt n$ 种不同的值
所以加起来，$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 最多有 $2 \sqrt n$ 种不同的值
$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 最多有 $2 \sqrt n$ 种不同的值，我们只需要找到每种值有多少个即可，就能在 $O_{\sqrt n}$ 的时间复杂度内算出 $\sum_{i = 1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 的值
每种值的个数有多少个呢？
假设 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k$，找出了多少个 $i$，使得 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k$
设 $\lfloor \frac{n}{s} \rfloor = k$，$\lfloor \frac{n}{s'} \rfloor = k$，$s$ 是满足 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k$ 的最小值，$s'$ 是满足 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = k$ 的最大值
令 $s' = s + d$，所以 $\lfloor \frac{n}{s} \rfloor = \lfloor \frac{n}{s + d} \rfloor = k$
$n = k \times s + p = k \times (s + d) + p'\quad (0 \le p < s, 0 \le p' < s + d)$
$k \times s + p = k \times (s + d) + p'$
$k \times d = p - p'$
所以 $d_{\max} = \lfloor \frac{p}{k} \rfloor$
所以 $s' = s + d_{\max}$

$$\begin{aligned} s' & = s + d_{\max}\\ & = s + \lfloor \frac{p}{k} \rfloor\\ & = s + \lfloor \frac{n \% s}{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} \rfloor\\ & = s + \lfloor \frac{n - \lfloor \frac{n}{s} \rfloor s}{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} \rfloor\\ & = s + \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} - s \rfloor\\ & = s + \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} \rfloor - s\\ & = \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} \rfloor \end{aligned}$$

所以 $s' = \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{s} \rfloor} \rfloor$
有多少个数呢？
$s' - s$ 个
$End.$