「学习笔记」最小表示法

通过这个算法，我认识到了，取模，是一个神奇的东西！还有，暴力出奇迹！

——$\text{yi_fan0305}$的学后感

进入正题#

定义：最小表示法是用于解决字符串最小表示问题的方法。
（当我第一次学习时，我：？？？？？？，所以，别慌，看不懂定义是正常现象）

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前置知识——循环同构#

对于字符串 $S$，有一个位置 $i$ ，可以满足

$$S|i...n| + S|1...i - 1| = T$$

那么我们称 $S$ 与 $T$ 循环同构，举个例子，字符串 $123456789$ 的循环同构有 $678912345、234567891$ 等等

最小表示#

字符串 $S$ 的最小表示就是与 $S$ 循环同构的所有字符串中字典序最小的字符串
例如： 字符串 $987654321$ 的最小表示为 $198765432$

最小表示法#

最小表示法就是找最小表示问题的算法，你可以发现，这个东西可以打暴力来解决
我们设字符串 $S$，$S$ 的循环同构 $S1$ 是在 $S$ 中以 $i$ 为起点，循环同构 $S2$ 是在 $S$ 中以 $j$ 为起点，已经判断的长度为 $k$，如下图

我们一个一个比较，如果两个位置的字符相等，++ k，继续向后搜，如果不相等，比较两个位置的大小，因为我们求的是最小表示，所以我们将大的舍弃，假设 $S1_{i+ k} > S2_{j + k}$，那么我们就将 $S1$ 舍弃，++ i，将下一个循环同构与 $S2$ 进行比较，$k$ 再变成 $0$，从头开始比较
代码

int min_show() {
	int i = 0, j = 1, k = 0;
	while (i < n && j < n && k < n) {
		if (a[(i + k) % n] == a[(j + k) % n]) {
			++ k;
		}
		else {
			if (a[(i + k) % n] > a[(j + k) % n]) {
				++ i;
			}
			else {
				++ j;
			}
			k = 0;
			if (i == j) {
				++ i;
			}
		}
	}
	return min(i, j);
}

这个暴力在一般情况下是可以应付过去的，但在一些特殊数据中，这个暴力会变成 $O_{n^2}$ 的，如 $cccccccccccccccc......cccd$ 这样的，所以，我们要优化一下这个暴力
我们假设循环同构 $S1、S2$ 的前 $p$ 个字符是相等的，$S1$ 的起始点为 $i$，$S2$ 的起始点为 $j$，那么，当 $S1_{g + 1} > S2_{g + 1}$ 时，按照暴力的操作，我们要将 $i$ 加 $1$，但是，对于以 $i + 1$ 为起点的新的循环同构，一定会有以 $j + 1$ 为起点的循环同构比它更优，这个性质在扩大一点范围，任意以 $i + p$ 为起点的循环同构，都一定会有一个以 $j + p$ 为起点的循环同构比它更优，前提 $p \in [0, k]$，所以，我们可以将 ++ i 变为 += k + 1，即跳过 $[i, i + k]$ 这一段
优化完后，这个暴力就变成了最小表示法了，看，暴力出奇迹！
代码：

int min_show() {
	int i = 0, j = 1, k = 0;
	while (i < n && j < n && k < n) {
		if (a[(i + k) % n] == a[(j + k) % n]) {
			++ k;
		}
		else {
			if (a[(i + k) % n] > a[(j + k) % n]) {
				i += (k + 1);
			}
			else {
				j += (k + 1);
			}
			if (i == j) {
				++ i;
			}
			k = 0;
		}
	}
	return min(i, j);
}

后记#

观察这个代码，你会发现一个起始点是 $0$，所以你要从 $0$ 开始输入，但由于我不习惯这种写法，所以就想方设法取模，让这个算法从 $1$ 开始输入也能找到答案，最后，我失败了，只能说，取模是个神奇的东西
这里给出完整代码，所对应的题目是洛谷的模板题，告诉你个卡常小技巧：取模的速度其实很慢，我们可以将取模改成减法，再配合 #define 宏定义，可以提一下速度（快不了很多），下面的代码中有
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod(x)	(x >= n ? x - n : x)

inline ll read() {
	ll x = 0;
	int fg = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		fg |= (ch == '-');
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return fg ? -x : x;
}

const int N = 3e5 + 5;

int n;
ll a[N];

int min_show() {
	int i = 0, j = 1, k = 0;
	while (i < n && j < n && k < n) {
		int x = i + k, y = j + k;
		if (a[mod(x)] == a[mod(y)]) {
			++ k;
		}
		else {
			if (a[mod(x)] > a[mod(y)]) {
				i += k + 1;
			}
			else {
				j += k + 1;
			}
			if (i == j) {
				++ i;
			}
			k = 0;
		}
	}
	return min(i, j);
}

int main() {
	n = read();
	for (int i = 0; i < n; ++ i) {
		a[i] = read();
	}
	int ans = min_show();
	for (int i = 0; i < n; ++ i) {
		int x = i + ans;
		printf("%lld ", a[mod(x)]);
	}
	return 0;
}