「学习笔记」扩展欧几里得定理与线性同余方程

扩展欧几里得算法

介绍

扩展欧几里得算法，常用来求像 \(ax + by = c\) 这样的不定方程的一组可行解

解法

在此之前，我们可以确定 \(c\) 一定是 \(\gcd(a, b)\) 的倍数。
为什么？我们把原式分解一下
\(ax + by\) 分解后，是\(\gcd(a, b) \cdot m \cdot x + \gcd(a, b) \cdot n \cdot y\)
其中
\(\gcd(a, b) \cdot m = a\\ \gcd(a, b) \cdot n = b\)
所以，\(c\) 一定是 \(\gcd(a, b)\) 的倍数
这道题转而可以转化成 \(ax_1 + by_1 = \gcd(a, b)\)
其中
\(ax_1 = \dfrac{a \cdot \gcd(a, b)} {c}\\by_1 = \dfrac{b \cdot \gcd(a, b)}{c}\)
由欧几里得定理可以得知
\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)
所以 \(ax_1 + by_1 = \gcd(a, b)\) 可以转化为 \(bx_2 + (a \bmod b)y_2 = \gcd(b, a \bmod b)\)
又因为 \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)
所以 \(ax_1 + by_1 = bx_2 + (a \bmod b)y_2\)
又因为\(a \bmod b = a - (\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)\)
所以 \(bx_2 + (a \bmod b)y_2 = bx_2 + (a - (\lfloor \frac{a}{b} \rfloor) \times b)y_2\)
合并同类项得 \(ay_2 + b(x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2)\)
又因为 \(a = a, b = b\)
所以 \(x_1 = y_2 , y_1 = x_2 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2\)
将 \(x_2, y_2\) 不断带入递归，直到有返回值后在进行计算

代码

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (!b)	{
		x = 1;
		y = 0;
	}	
	else {
		exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= (a / b) * x;
	} 
}

同余方程

类似于 \(ax \equiv c \pmod y\) 这样的方程就是同余方程。
我们可以将同余方程转化为不定方程 \(ax + by = c\)，通过扩展欧几里得算法解得特解 \(x_0, y_0\)。
则 我们可以得到通解

\[\begin{cases} x = x_0 + \dfrac{b}{gcd(a, b)} \cdot t;\\ y = y_0 - \dfrac{a}{gcd(a, b)} \cdot t;\\ \end{cases} \]

正确性？
你带入看看式子是否成立即可。