「学习笔记」最大公因数和最小公倍数、唯一分解定理

前言#

终于开始正式写数论了，之前的快速幂和进制转化不算，莫名有些激动。
废话不多说，我们直接

进入正题！#

定义#

还是老样子，先搞明白定义
$\gcd$ 最大公因数
$\operatorname{lcm}$ 最小公倍数
此外，为了方便，规定 $\gcd(0, a)=a$

公式#

$a \times b= \gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)$
你一定很好奇这是怎么来的，对吧？
别急，这就向你解释，但在这里，我们要插入一个小小的定理——唯一分解定理

半路杀出的唯一分解定理#

看着很难，其实很好理解
就是一个正整数都可以拆成 $a_1^{k1} \times a_2^{k2} \times a_3^{k3} \times a_4^{k4} \ldots$ 的形式，有且仅有这一种形式
其中 $a_1, a_2 \ldots$ 都是质数，$k1, k2 \ldots$ 都是指数
说白了就是质因数分解
比如说 $252=2^3+3^2+7^1$
在这里，如果一个数 $a$ 是另一个数 $b$ 的因数，$a \ne b$，那么 $a$ 分解质因数所得的 $k1$ , $k2$ 都小于等于 $b$ 所对应的 $k1$ , $k2$
比如 $84$ 是 $252$ 的因数
$84=2^2+3^1+7^1$
很显然，是符合我们上面的结论的
同理，如果一个数 $a$ 是另一个数 $b$ 的倍数，$a \ne b$，那么 $a$ 分解质因数所得的 $k1$ , $k2$ 都大于等于 $b$ 所对应的 $k1$ , $k2$
比如 $252$ 是 $84$ 的倍数

$$84=2^2+3^1+7^1\\ 252=2^3+3^2+7^1$$

很显然，也是符合的
如果

$$a=d_1^{k1}+d_2^{k2}+d_3^{k3}+d_4^{k4}\ldots b=d_1^{j1}+d_2^{j2}+d_3^{j3}+d_4^{j4}\ldots$$

一个数 $c=d_1^{g1}+d_2^{g2}+d_3^{g3}+d_4^{g4}\ldots$ 是 $a$ 和 $b$ 的公因数
由上面的结论可得 $g_i \le \min(k_i,j_i)$
如果要求 $\gcd(a,b)$
那么 $\gcd(a, b) = d_1^{\min(k1, j1)} + d_2^{\min(k2, j2)} + d_3^{\min(k3, j3)} + d_4^{\min(k4,j4)} \ldots$
同理，一个数 $c=d_1^{g1}+d_2^{g2}+d_3^{g3}+d_4^{g4} \ldots$ 是 $a$ 和 $b$ 的公倍数，则$g_i \ge \max(k_i,j_i)$
要求 $\operatorname{lcm}(a,b)$,则$\operatorname{lcm}(a,b)=d_1^{\max(k1,j1)}+d_2^{\max(k2,j2)}+d_3^{\max(k3,j3)}+d_4^{\max(k4,j4)} \ldots$
所以 $\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)=d_1^{\max(k1,j1)+\min(k1,j1)}+d_2^{\max(k2,j2)+\min(k2,j2)}+d_3^{\max(k3,j3)+\min(k3,j3)}+d_4^{\max(k4,j4)+\min(k4,j4)}\ldots$
也就是 $\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)=d_1^{k1+j1}+d_2^{k2+j2}+d_3^{k3+j3}+d_4^{k4+j4} \ldots = a \times b$
所以我们证明了结论 $a \times b = \gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)$

求 $\gcd$ ——欧几里得算法#

欧几里得算法，其实就是辗转相除法

公式#

$\gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b)$
如何证明它的正确呢？
这里要用到弱化版本——更相减损术

同样半路杀出来的更相减损术#

公式#

$\gcd(a, b) = \gcd(a - b, b)$

证明#

如果$c \mid a$，$c \mid b$，则$a=cx,b=cy$，那么$a-b=c(x-y)$，所以$c \mid a-b$
也就是说 $c$ 如果是 $a$ 和 $b$ 的公因数，那它也一定是 $a-b$ 的公因数,所以 $\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b)$ 是成立的

回归求 $\gcd$#

我们利用更相减损术继续往下推
$\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b) = \gcd(a-b-b,b) = \gcd(a-b-b-b,b) = \ldots$
$a$ 一直减 $b$，减到最后就成为了 $\gcd(a \bmod b, b)$
所以 $\gcd(a,b) = \gcd(a \bmod b)$ ，但为了方便递归，我们将参数换一下，改为 $\gcd(b,a \bmod b)$

代码#

求 $\gcd$

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)    return a;
    return gcd(b,a%b);
}

小结#

求 $\operatorname{lcm}$ ，可以直接用 $\dfrac{a}{\gcd(a, b)} \times b$ 来完成
这里打好基础，后面的扩展欧几里得算法才能学会
本文到这里就结束了，喜欢的话可以支持一下ヾ(≧▽≦*)o