「学习笔记」最大公因数和最小公倍数、唯一分解定理
前言
终于开始正式写数论了，之前的快速幂和进制转化不算，莫名有些激动。
废话不多说，我们直接
进入正题！
定义
还是老样子，先搞明白定义
\(\gcd\) 最大公因数
\(\operatorname{lcm}\) 最小公倍数
此外，为了方便，规定 \(\gcd(0, a)=a\)
公式
\(a \times b= \gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)\)
你一定很好奇这是怎么来的，对吧？
别急，这就向你解释，但在这里，我们要插入一个小小的定理——唯一分解定理
半路杀出的唯一分解定理
看着很难，其实很好理解
就是一个正整数都可以拆成 \(a_1^{k1} \times a_2^{k2} \times a_3^{k3} \times a_4^{k4} \ldots\) 的形式，有且仅有这一种形式
其中 \(a_1, a_2 \ldots\) 都是质数，\(k1, k2 \ldots\) 都是指数
说白了就是质因数分解
比如说 \(252=2^3+3^2+7^1\)
在这里，如果一个数 \(a\) 是另一个数 \(b\) 的因数，\(a \ne b\)，那么 \(a\) 分解质因数所得的 \(k1\) , \(k2\) 都小于等于 \(b\) 所对应的 \(k1\) , \(k2\)
比如 \(84\) 是 \(252\) 的因数
\(84=2^2+3^1+7^1\)
很显然，是符合我们上面的结论的
同理，如果一个数 \(a\) 是另一个数 \(b\) 的倍数，\(a \ne b\)，那么 \(a\) 分解质因数所得的 \(k1\) , \(k2\) 都大于等于 \(b\) 所对应的 \(k1\) , \(k2\)
比如 \(252\) 是 \(84\) 的倍数
很显然，也是符合的
如果
一个数 \(c=d_1^{g1}+d_2^{g2}+d_3^{g3}+d_4^{g4}\ldots\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公因数
由上面的结论可得 \(g_i \le \min(k_i,j_i)\)
如果要求 \(\gcd(a,b)\)
那么 \(\gcd(a, b) = d_1^{\min(k1, j1)} + d_2^{\min(k2, j2)} + d_3^{\min(k3, j3)} + d_4^{\min(k4,j4)} \ldots\)
同理，一个数 \(c=d_1^{g1}+d_2^{g2}+d_3^{g3}+d_4^{g4} \ldots\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公倍数，则\(g_i \ge \max(k_i,j_i)\)
要求 \(\operatorname{lcm}(a,b)\),则\(\operatorname{lcm}(a,b)=d_1^{\max(k1,j1)}+d_2^{\max(k2,j2)}+d_3^{\max(k3,j3)}+d_4^{\max(k4,j4)} \ldots\)
所以 \(\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)=d_1^{\max(k1,j1)+\min(k1,j1)}+d_2^{\max(k2,j2)+\min(k2,j2)}+d_3^{\max(k3,j3)+\min(k3,j3)}+d_4^{\max(k4,j4)+\min(k4,j4)}\ldots\)
也就是 \(\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)=d_1^{k1+j1}+d_2^{k2+j2}+d_3^{k3+j3}+d_4^{k4+j4} \ldots = a \times b\)
所以我们证明了结论 \(a \times b = \gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)\)
求 \(\gcd\) ——欧几里得算法
欧几里得算法，其实就是辗转相除法
公式
\(\gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b)\)
如何证明它的正确呢？
这里要用到弱化版本——更相减损术
同样半路杀出来的更相减损术
公式
\(\gcd(a, b) = \gcd(a - b, b)\)
证明
如果\(c \mid a\)，\(c \mid b\)，则\(a=cx,b=cy\)，那么\(a-b=c(x-y)\)，所以\(c \mid a-b\)
也就是说 \(c\) 如果是 \(a\) 和 \(b\) 的公因数，那它也一定是 \(a-b\) 的公因数,所以 \(\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b)\) 是成立的
回归求 \(\gcd\)
我们利用更相减损术继续往下推
\(\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b) = \gcd(a-b-b,b) = \gcd(a-b-b-b,b) = \ldots\)
\(a\) 一直减 \(b\)，减到最后就成为了 \(\gcd(a \bmod b, b)\)
所以 \(\gcd(a,b) = \gcd(a \bmod b)\) ，但为了方便递归，我们将参数换一下，改为 \(\gcd(b,a \bmod b)\)
代码
求 \(\gcd\)
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
小结
求 \(\operatorname{lcm}\) ，可以直接用 \(\dfrac{a}{\gcd(a, b)} \times b\) 来完成
这里打好基础，后面的扩展欧几里得算法才能学会
本文到这里就结束了，喜欢的话可以支持一下ヾ(≧▽≦*)o
