「学习笔记」差分约束
浅谈
差分约束主要是处理这样一类问题
有n个像 \(x_1-x_2\le k\) 这样的式子，求 \(x_1\) 到 \(x_n\) 的最大/最小值
差分约束
看到这一类题目，如果你认为是数学题，很好，你完蛋了
这一类题目会假扮成数学不等式出现，正解是利用这些信息来建图
我们把上面的式子变化一下
\(x_1-x_2 \le k\)
\(x_1 \le x_2+k\)
看到这个式子，你再看这个式子 \(dis_1=dis_2+k\)，两者有没有相似之处？
一定有，对吧？除了 \(<\)，这两个式子差不多，我们如果要建图，按照一般思路，边权肯定取这个 \(=\)，而不是 \(<\) 不然你怎么知道边权是多少，这个 \(=\) 是我们在这个式子中唯一可以确定边权的符号，因此，对于形似 \(x_1-x_2<k\) 这样的式子，我们要把它转化成 \(x_1-x_2 \le k-1\) 才能做题。
具体做法
差分约束的题目，一般就是求最大值或最小值
但一般不是难在转化式子，而是难在找这些限制条件(即上面的不等式)
当你找出限制条件时，我们就根据题目来转化建图
对于最大值，将式子都转化成 \(x_1-x_2 \le k\) 的形式，再将式子转化成 \(x_1 \le x_2+k\) 的形式，这样就是连接一条 \(x_2\) 到 \(x_1\) 边权为 \(k\) 的边，建好图后，我们跑最短路
首先，这里怎么将 \(x_1-x_2 \ge k\) 转化？\(\times(-1)\) 就行了，不等式两边同乘一个负数，不等号方向改变
然后，为什么跑最短路？
我们画一个图
这是一个图，右下角是他的限制条件，限制条件作为不等式，肯定也是要满足不等式性质的，根据不等式性质，同小取小，所以，每条边跑最短路。
同理，对于最小值，将式子转化为 \(x_1-x_2 \ge k\) 的形式，连接一条 \(x_2\) 到 \(x_1\) 边权为 \(k\) 的边，建图，跑最长路
实现
题目中一般会问有没有一种方案可以满足所有的限制条件，建图的时候，可能就会有环(正环-最长路或负环-最短路)，这样就会卡掉 \(\text{dijkstra}\),所以我们用 \(\text{SPFA}\) 来实现最短路和最长路
关于SPFA，它死了，但没完全死
提醒
判断环，有 \(\text{dfs-SPFA}\) 和 \(\text{bfs-SPFA}\) 两种算法，单纯只是判断负环，\(\text{dfs-SPFA}\) 对于随机数据效率比 \(\text{bfs-SPFA}\) 高了不知道多少，但有些毒瘤出题人会卡掉 \(\text{dfs-SPFA}\)，\(\text{dfs-SPFA}\) 会在负环模板等数据中产生指数级别的复杂度，所以，具体用哪个，自己掂量一下吧 反正dfs-SPFA和bfs-SPFA都能被卡，一半死一半不死呗
例题
丢下例题准备跑路
小K的农场原先卡bfs-SPFA，现在卡dfs-SPFA
模板题别问我为什么模板题放后面
poj3169啊哈！又是奶牛
结尾
其实约束分为三种：线性约束、区间约束、未知条件约束，但这是关于找限制条件的事情，就不讲了我是不会告诉你我不会的
最后，喜欢可以支持一下呀
在写这篇文章的时候，教练突然过来了，差点就死了，看在我这么惨的情况下，我能不要脸的要一个支持吗?QWQ
