「学习笔记」素数筛

为什么会想写这个东西呢？主要是最近开始练习哈希，最大质数不会找，所以就顺道学了学素数筛。
实际上，这个已经搁置了好几天了，SD 夏令营 D4 又仔细讲了讲，就补一下坑。
2022.8.27 update 刚军训完，题目做不下去，修改成 LateX 形式，便于观看
2023.1.9 update 最近讲数学，对于欧拉筛的退出机制更了解了，所以将先前的解释删了，重新写了一个新的，更好理解（这个解释的位置在最后）

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OK,进入正题
素数筛，就是筛素数的。废话

方法一：枚举 $1 \sim n$#

我最开始的做法是从 $1$ 到 $n$ 枚举，找有没有能模的，但这样太慢，数一大，就坐等 $\text{TLE}$ 了。
判断一个数是不是素数这个做法是 $O_n$ 的，求 $1-n$ 的素数是$O_{n^2}$ 的。

方法二：枚举到 $\sqrt{n}$#

一个数如果是和数，肯定是由一个大数乘一个小数或两个相等的数相乘，所以只要枚举不大于 $\sqrt{n}$ 的数就行了，效率有所提高。
判断一个数是不是素数这个做法是 $O_{\sqrt{n}}$ 的，求 $1-n$ 的素数是 $O_{n\sqrt{n}}$ 的。

方法三：埃式筛（埃拉托斯特尼筛）#

一个和数可以分解成许多质数，所以，每求出一个质数，我们就可以预处理一下，用它乘上 $1，2，3，4……$ 将乘出来的和数都打上标记（素数的积不是素数）

void make_prime(int x)
{
    for(rint i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            for(rint j=i*i;j<=x;j+=j)
            {
                vis[j]=1;
            }
        }
    }
    for(rint i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!vis[i])    printf("%d ",i);
    }
}

复杂度 $O_{n\log n}$

方法四：欧拉筛#

埃式筛有一个问题，那就是重复打了标记
$\text{e.g.}$
$12$，在 $3 \times 4$ 时被打了标记，在 $2 \times 6$ 也被打了标记
我们想办法，让每一个和数都被它的最小质因数打上标记，这样可以保证每个数只被打一遍标记

void make_prime(int x)
{
    for(rint i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!vis[i])    
        {
            prime.push_back(i);
        }
        for(rint j=1;j<=prime.size()&&prime[j]*i<=x;++j)
        {
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(!(i%prime[j]))    break;//保证一定是它的最小质因数把它打标记
        }
    }
}

比较重要的就是这句：if(!i%prime[j])break;
i%prime[j]==0，说明第 $j$ 个质数 $prime_j$ 是 $i$ 的质因数，并且它是 $i$ 的最小质因数。
我们设 $i = prime_j \times x$，那么筛掉的数可以表示为 $prime_i \times prime_i \times x$
如果不退出，下一个和数是被 $prime_{j + 1}$ 筛掉的，但是，这个数表示为 $i \times prime_{j + 1} = prime_j \times prime_{j + 1} \times x$
很明显，$prime_j < prime_{j + 1}$，按照欧拉筛的原理，每个数都由它的最小质因数筛掉，所以这个数应该由 $prime_j$ 筛掉，但它现在已经被 $prime_{j + 1}$ 筛掉了，而后面 $prime_j$ 还会再筛它一次，这就出现了重复，所以，当 $prime_j | i$ 时，就要退出。