「学习笔记」前缀和与差分

一维前缀和

就是一个数列前 \(n\) 项的总和
如何实现前缀和？
代码：

const int N=1e5+10;
int sum[N],a[N]; //sum[i]=a[1]+a[2]+a[3].....a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{ 
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];   
}

查询某个数或某一段区间的区间和，查询时间复杂度为 \(O_1\)，预处理的时间复杂度为 \(O_n\)
查询代码：

scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n", sum[r]-sum[l-1]);

原理：
\(sum_l = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_l\)
\(sum_r = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_l + a_{l+1} + a_{l+2} + ... + a_r\)
求 \(l — r\) 区间的和
\(sum_r - sum_{l-1} = a_l + a_{l+1} + ... + a_r\)

二维前缀和

其实跟一维的原理一样，只不过它所记录的是是左上角\(（1，1）\)到右下角\(（i，j）\)所包含的矩阵元素的和

如图，蓝色部分是我们要求的，我们可以用目前已知的\(（1，1，i，j）-（1，1，i，j-1）-（1，1，i-1，j）\)来求，但这里要注意，\(（1，1，i-1，j-1）\)在这里被减了2遍，所以要再加上\(（1，1，i-1，j-1）\)
所以 \(a(i, j) = s(i, j) - s(i, j-1) - s(i-1, j) + s(i-1, j-1)\)
因而也可以得到二维前缀和的预处理公式：
\(s(i, j) = a(i, j) + s(i, j-1) + s(i-1, j) - s(i-1, j-1)\)
预处理时间复杂度为 \(O_{nm}\) ，查询时间复杂度为 \(O_1\)

一维差分

可以看作前缀和的逆运算
给定原数组：\(b_1,b_2,b_3,b_4......\)
现在构造一个数组：\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5......\)
我们让它们做到 \(a_i=b_1+b_2+b_3+b_4+...+b_i\)
可以看出，\(a\) 是 \(b\) 数组的前缀和数组，那么反过来，\(b\) 就是 \(a\) 的差分数组
每一个 \(a_i\) ,都是 \(b\) 从 \(1\) 开始到 \(i\) 的区间和
构造：
\(b_1 = a_1 - a_0\)
\(b_2 = a_2 - a_1\)
\(b_3 = a_3 - a_2\)
\(......\)
差分数组有什么用？
让 \(l —— r\) 区间里的元素都加上 \(x\)
按照一般做法，

for(int i=l;i<=r;++i)
{
　　a[i]+=x;
}

这种做法是 \(O_n\) 的，数据一大，我们就承受不了这种复杂度了
这里，我们可以考虑差分
上面可以看出，差分记录的只是差，所以 \(b_{l+1} \sim b_r\) 之间不受影响，因为都是加 \(x\) ，所以差不变，但是， \(a_l+x\) ,那么，\(a_l - a_{l-1} = b_l + x\) ,所以 \(b_l\) 要加上 \(x\) （这就是为什么前面我说的是\(l+1 \sim r\) 而不是 \(l \sim r\)），同理，\(a_r + x\) ，那么，\(a_{r+1} - a_r = b_{r+1} - x\)
由此可以看出，我们只要在 b[l]+=x,b[r+1]-=x，就可以解决问题了，时间复杂度为 \(O_1\)（忽略常数）

二维差分

原理差不多，但相对于二维前缀和，二维差分更复杂一些
我们要始终记得，原数组 \(a\) 是差分数组 \(b\) 的前缀和数组，一旦 \(b\) 有变化，那么，\(a\) 也会随之改变
构造：

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        insert(i,j,i,j,a[i][j]);    //构建差分数组
    }
}

上面这种构造要把 \(b\) 数组设为空，当然，也有关于二维差分操作也有直接的构造方法，公式如下：
\(b(i, j) = a(i, j) - a(i-1,j) - a(i, j-1) + a(i-1, j-1)\)
让\(（i，j）\)到\(（h，k）\)的矩阵的元素都加上 \(X\)
因为 \(a(i,j) + x\) ,所以 \(a(i, j) - a(i-1, j) - a(i, j-1) + a(i-1, j-1) = b(i,j) + x\)
同理
因为 \(a(h, j) + x\) ,所以 \(a(h+1,j) - a(h, j) - a(h+1,j-1) + a(h,j-1) = b(h+1,j) - x\)
因为 \(a(i, k) + x\) ,所以 \(a(i,k+1) - a(i-1,k+1) - a(i,k) + a(i-1,k) = b(i,k+1) - x\)
因为 \(a(h, k) + x\) ,所以 \(a(h+1,k+1) - a(h,k+1) - a(h+1,k) + a(h,k) = b(h+1,k+1) + x\)
\(b(i,j) \sim b(h,k)\) 除去 \(b(i,j)\) 因为都 \(+x\)，所以不受影响
求和

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
    }
}

这种求和方法，\(b\) 数组每一次都在变化，而且每一次变化都标留了（+=），当然，也有其他求和版本

long long c[1000][1000];
long long x,y;
scanf("%lld%lld",&x,&y);
for(int i=1;i<=x;++i)
{
    for(int j=1;j<=y;++j)
    {
        c[x][y]+=b[i][j];
    }
}