「学习笔记」一维树状数组

树状数组是一种查询和修改都是 $O_{logn}$ 的数据结构
树状数组可以做到单点修改区间查询，单点查询区间修改和区间修改区间查询
树状数组也分一维和二维

由此可以看出
$C_1 =A_1$
$C_2 = A_1 + A_2$
$C_3 = A_3$
$C_4 = A_1 + A_2 + A_3 + A_4$
$C_5 = A_5$
$C_6 = A_5 + A_6$
$C_7 = A_7$
$C_8 = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7 + A_8$
$......$

要时刻记着每个点是怎么来的，否则后面容易混！！！

设节点编号为 $n$，那么，它所管辖的区域就是 $2^j$（$j$ 是 $n$ 的二进制形式的末尾 $0$ 的个数） 子节点找父节点就是加上最后一个 $1$

$e.g.$
$1->2$—— $0001 + 0001 = 0010$
$2->4$—— $0010 + 0010 = 0100$
$3->4$—— $0011 + 0001 = 0100$
那现在问题来了，怎么求最后一个 $1$ ？
通常，我们把它叫做 $\text{lowbit(n)}$
计算方法 n & (-n)
&： 位运算符，按位与，只有参与运算的两个二进制数所对应的二进制位均为 $1$ ，结果对应位才为 $1$ ，否则为 $0$

ll lowbit(ll x)
{
	return x&(-x);
}

单点修改，区间查询：#

问题：在 $x$ 位置加上 $y$，求 $a$，$b$的区间和。
如果 $x$ 位置加上 $y$，那么，它的父节点也要加上 $y$，查询父节点位置前面已经提到了，这个操作叫单点修改。
单点修改代码：

void add(ll x,ll y)//数组x位置加y 
{
	for(rll i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
	{
		s[i]+=y;//逐层向上修改(毕竟子节点改了，父节点也要改) 
	}
}

建树的过程，就可以看作是单点修改。
区间查询，就是找类兄弟
$e.g.$ ($sum$ 可以看作前缀和)
$sum_5 = S_5 + S_4 + 0$
$S_5:0101$
$S_4:0100$
$0:0000$
$sum_7 = S_7 + S_6 + S_4 + 0$
$S_7:0111$
$S_6:0110$
$S_4:0100$
$0:0000$
发现了吗，找类兄弟就是减去最后一个 $1$ ，直至没有 $1$ 为止
区间查询代码：

ll sum(ll x)
{
    ll ans=0;
    for(rll i=x;i;i-=(lowbit(i)))
    {
        ans+=s[i];
    }
    return ans;
}

单点修改，区间查询完整代码(有注释)：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rll register long long
using namespace std;
ll n,m,a;
ll s[1000100];
void add(ll x,ll y)//数组x位置加y
{
    for(rll i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
    {
        s[i]+=y;//逐层向上修改(毕竟子节点改了，父节点也要改)
    }
}
ll sum(ll x)
{
    ll ans=0;
    for(rll i=x;i;i-=(i&(-i)))
    {
        ans+=s[i];//求和，找类兄弟
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(rll i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%lld",&a);
        add(i,a);//建树过程，把操作之前的树上的点都看作是0
    }
    for(rll p,l,r,i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&p,&l,&r);
        if(p==1)
        {
            add(l,r);//在l位置加上r
        }
        else
        {
            printf("%lld\n",sum(r)-sum(l-1));//查询区间[l-r]
        }
    }
    return 0;
}

区间修改，单点查询：#

区间修改主要运用差分思想
注意，后面的内容必须会差分才可以看懂，不会差分的请止步。
区间修改代码（差分）：

void add(ll x,ll y)
{
    for(rll i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
    {
        s[i]+=y;
    }
}

单点查询，运用差分求和的思想，$[1-i]$ 的差分和就是第i个元素的数值
单点修改代码：

ll sum(ll x)
{
    ll ans=0;
    for(rll i=x;i;i-=(i&(-i)))
    {
        ans+=s[i];//利用差分的思想求和，1-i的差分数组的和就是第i个数的值
    }
    return ans;
}

区间修改，单点查询完整代码(有注释)：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rll register long long
using namespace std;
ll n,m,last,a;
ll s[1000100];
void add(ll x,ll y)//差分数组x的位置加y
{
    for(rll i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
    {
        s[i]+=y;
    }
}
ll sum(ll x)//求第x个数的数值
{
    ll ans=0;
    for(rll i=x;i;i-=(i&(-i)))
    {
        ans+=s[i];//利用差分的思想求和，1-i的差分数组的和就是第i个数的值
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(rll i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%lld",&a);
        add(i,a-last);//记录差分数组
        last=a;//更新last，记录差分
    }
    for(rll p,l,r,j,i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%lld",&p);
        if(p==1)
        {
            scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&j);//在区间[l-r]中，每一个元素加j
            add(l,j);//差分数组s[l]+j
            add(r+1,-j);//差分数组s[r+1]-j
        }
        else
        {
            scanf("%lld",&j);
            printf("%lld\n",sum(j));//求点j的值，利用差分求和
        }
    }
    return 0;
}

区间修改，区间查询：#

这里的区间修改依然是差分思想，但求的是区间和，因此，与上面的有不同

区间和就是这个区间的数都加一遍， $d(j)$ 是差分数组，差分数组从 $1$ 到 $i$ 的和就是 $a(i)$

这里要自己亲自加一遍试试，全加起来，就会发现，$d(1),d(2),d(3)...$ 被加的个数有规律，最后用分配律，就是最终公式了。

公式一定要记住！！！

由此可见，区间修改，区间查询需要多维护一个 $d(i) \times i$ 的和值

区间修改代码：

void add(ll x,ll y)//差分数组x位置的数加y
{
    for(rll i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
    {
        s1[i]+=y;//记录差分
        s2[i]+=x*y;//记录差分的和
    }
}

区间查询代码：

ll sum(ll x)//求前缀和(准确来说也不是前缀和，但性质差不多)
{
    ll ans=0;
    for(rll i=x;i;i-=(i&(-i)))
    {
        ans+=(x+1)*s1[i]-s2[i];//根据公式计算
    }
    return ans;
}

scanf("%lld%lld",&l,&r);//求区间(l-r)的和
printf("%lld\n",sum(r)-sum(l-1));//前缀和计算

区间修改，区间查询完整代码(有注释)：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rll register long long
using namespace std;
ll n,m,a,last;
ll s1[1000100],s2[1000100];
// s1 记录差分树状数组(公式第一项) s2 记录差分数组×i的和 (公式第二项)
void add(ll x,ll y)//差分数组x位置的数加y
{
    for(rll i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
    {
        s1[i]+=y;//记录差分
        s2[i]+=x*y;//记录差分的和
    }
}
ll sum(ll x)//求前缀和(准确来说也不是前缀和，但性质差不多)
{
    ll ans=0;
    for(rll i=x;i;i-=(i&(-i)))
    {
        ans+=(x+1)*s1[i]-s2[i];//根据公式计算
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(rll i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%lld",&a);
        add(i,a-last);//a-last 计算差分
        last=a;//更新last,使得记录的都是后一个数和前一个数的差
    }
    for(rll p,l,r,j,i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%lld",&p);//判断是修改还是查询
        if(p==1)
        {
            scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&j);//l-r区间的元素加j
            add(l,j);//差分数组s1[l]+j
            add(r+1,-j);//差分数组s1[r+1]-j
        }
        else
        {
            scanf("%lld%lld",&l,&r);//求区间(l-r)的和
            printf("%lld\n",sum(r)-sum(l-1));//前缀和计算
        }
    }
    return 0;
}

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