前置知识
欧拉函数
欧拉定理
内容：\(a^{\varphi(p)} \equiv 1 \pmod p \quad (a \perp p)\)
证明：
我们构造一个数列 \(P = p_1, p_2, p_3, p_4, \ldots ,p_{\varphi(p)}\)，这个数列中的数都与 \(p\) 互质
因为 \(p_i \perp p \quad (1 \le i \le \varphi(p))\)，所以
\((p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)}) \perp p\)
这个其实很好理解，他们之间都没有公因子，那么相乘也不会诞生出公因子
同时我们可以得到
\(ap_i \perp p \quad (1 \le i \le \varphi(p)) \quad (a \perp p)\)
证明:
我们假设 \(ap_i \equiv ap_j \pmod p\)
\[\begin{aligned}
ap_i & \equiv ap_j \pmod p\\
ap_i - ap_j & \equiv 0 \pmod p\\
a(p_i - p_j) & \equiv 0 \pmod p\\
\end{aligned}
\]
推导：
\[\begin{aligned}
& \because a(p_i - p_j) \equiv 0 \pmod p\\
& \therefore a(p_i - p_j) \mid p\\
& \because a \perp p\\
& \because (p_i - p_j) \mid p\\
& \because p_i - p_j < p\\
& \therefore 假设错误\\
& \therefore ap_i \perp p \quad (1 \le i \le \phi(p)) \quad (a \perp p)\\
&&\square
\end{aligned}
\]
\(\because ap_i \perp p \quad (1 \le i \le \varphi(p)) \quad (a \perp p)\)
\(\therefore (ap_1 \cdot ap_2 \cdot ap_3 \cdot \ldots \cdot ap_{\varphi(p)}) \perp p\)
现在，我们观察数列 \(A = ap_1, ap_2, ap_3, \ldots, ap_{\varphi(p)}\) 中的数都不相等，且他们都与 \(p\) 互质，而数列 \(P\) 中的数也互不相等，且都与 \(p\) 互质，我们可以推测出，在 \(A\) 中的任意一个元素在 \(\bmod p\) 意义下得到的余数一定在 \(P\) 中有对应，所以我们可以得到
\[\begin{aligned}
ap_1 \cdot ap_2 \cdot ap_3 \cdot \ldots \cdot ap_{\varphi(p)} & \equiv p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)} \quad \pmod p\\
a^{\varphi(p)} \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)} & \equiv p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_{\varphi(p)} \quad \pmod p\\
a^{\varphi(p)} & \equiv 1 \quad \pmod p\\
&&\square
\end{aligned}
\]
费马小定理
其实，证完欧拉定理，你会发现，费马小定理其实是欧拉定理的特殊情况
费马小定理内容：\(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p \quad (p 为质数)\)
证明：
\[\begin{aligned}
& \because p为质数\\
& \therefore \varphi(p) = p - 1\\
& \because a^{\varphi(p)} \equiv 1 \quad \pmod p\\
& \therefore a^{p - 1} \equiv 1\\
&&\square
\end{aligned}
\]
