「刷题记录」国王（状压DP）

第一道状压 DP 题 夏令营学长讲了一晚上我也没听明白
题目传送门：国王

分析

这道题似乎和八皇后很像，但由于国际象棋中规则不同，国王只能吃掉周围 \(8\) 个格的棋子，所以也是有所不同的
我们一步一步来
首先，同一行允许有多个国王，前提是这些国王不紧挨着
其次，同一列允许有多个国王，前提也是这些国王不紧挨着
再然后，就是一个国王的四个角上不能有其他国王，同时国王总数不能超过 \(k\)
现在，我们已经找到规则了

状压部分

一个位置放国王，在二进制上就是 \(1\)，否则就是 \(0\)
二进制数 \(0101\) 代表第一个位置放国王，第三个位置放国王，第二和第四个位置不放
我们二进制的放国王顺序是从右往左，因为二进制每次加 \(1\)都是从最右边开始加的，因此顺序也就设为从右往左

DP 部分

先设置状态
\(dp(i, j, h)\)：第 \(i\) 行，第 \(j\) 种情况，放了 \(h\) 个棋子
\(need_i\)：情况 \(i\) 需要多少个棋子
转移方程式：\(dp(i, j, h) += dp(i - 1, s, h - need_j)\)
\(s\)：\(s\) 情况下，\(j\) 情况是合法的

代码

先预处理出每一种状态

all = (1 << n) - 1; // 每一个格都放的情况
for (int i = 0; i <= all; ++i) { // 枚举所有的情况
	int tmp = i;
	while (tmp) {
		need[i] += (tmp & 1); // 统计这种情况需要多少个国王
		tmp >>= 1;
		if (need[i] > k) 
			break;
			// 一个小优化,最多放k个国王,如果已经大于k个,则这种情况一定不会选,直接退出即可
	}
}

判断情况是否合法，即判断左右是否相邻

for (int i = 0; i <= all; ++i) {
	can[i] = !((i << 1) & i); // 判断左右是否紧挨着
}

然后预处理出第一行的合法情况

for (int i = 0; i <= all; ++i) {
	if (can[i] && need[i] <= k)
		dp[1][i][need[i]] = 1;// 预处理出第一行
}

然后，枚举每一行的每一种合法情况，再枚举上一行的合法情况，判断当前这一行的这种情况对于上一行来说是否合法

for (int i = 2; i <= n; ++i) { // 枚举当前行
	for (int j = 0; j <= all; ++j) { // 枚举当前行的每一种情况
		if (can[j]) {
			for (int h = 0; h <= all; ++h) { // 枚举上一行的每一种情况
				if (!can[h])
					continue;
				if (j & h) // 判断上下是否紧挨着
					continue;
				if ((j << 1) & h) // 判断当前国王的位置是否是上一行国王位置的右下角
					continue;
				if ((j >> 1) & h) // 判断当前国王的位置是否是上一行国王位置的左下角
					continue;
				for (int l = k; l >= need[j]; --l) { // 枚举国王个数
					dp[i][j][l] += dp[i - 1][h][l - need[j]];
				}
			}
		}
	}
}

完整代码：

点击查看代码

/*
  date: 2022.9.10
  worked by yi_fan0305
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n, k, all;
ll dp[15][1010][100];
// 一维 行数 二维 状态 三维 国王个数
int need[1010], can[1010];
// need 第i种情况所需的国王个数 can 第i种情况是否合法

inline ll read() {
	ll x = 0;
	int fg = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		fg |= (ch == '-');
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return fg ? ~x + 1 : x;
}

int main() {
	n = read();
	k = read();
	all = (1 << n) - 1; // 每一个格都放的情况
	for (int i = 0; i <= all; ++i) { // 枚举所有的情况
		int tmp = i;
		while (tmp) {
			need[i] += (tmp & 1); // 统计这种情况需要多少个国王
			tmp >>= 1;
			if (need[i] > k) 
				break;
				// 一个小优化,最多放k个国王,如果已经大于k个,则这种情况一定不会选,直接退出即可
		}
	}
	for (int i = 0; i <= all; ++i) {
		can[i] = !((i << 1) & i); // 判断左右是否紧挨着
	}
	for (int i = 0; i <= all; ++i) {
		if (can[i] && need[i] <= k)
			dp[1][i][need[i]] = 1;// 预处理出第一行
	}
	for (int i = 2; i <= n; ++i) { // 枚举当前行
		for (int j = 0; j <= all; ++j) { // 枚举当前行的每一种情况
			if (can[j]) {
				for (int h = 0; h <= all; ++h) { // 枚举上一行的每一种情况
					if (!can[h])
						continue;
					if (j & h) // 判断上下是否紧挨着
						continue;
					if ((j << 1) & h) // 判断当前国王的位置是否是上一行国王位置的右下角
						continue;
					if ((j >> 1) & h) // 判断当前国王的位置是否是上一行国王位置的左下角
						continue;
					for (int l = k; l >= need[j]; --l) { // 枚举国王个数
						dp[i][j][l] += dp[i - 1][h][l - need[j]];
					}
				}
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= all; ++i) { // 统计答案
		ans += dp[n][i][k];
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}