面试问题之数据结构与算法：最小生成树算法

最小生成树算法有：Kruskal算法和Prim算法。

关于图的几个概念：

连通图：在无向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该无向图为连通图。

强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。

连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接两个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。

生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。（一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。）

最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

一、Kruskal克鲁斯卡尔算法

　　克鲁斯卡尔算法的核心思想是：在带权连通图中，不断地在边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到生成一棵最小生成树。

　　克鲁斯卡尔算法的执行步骤：

　　第一步：在带权连通图中，将边的权值排序；

　　第二步：判断是否需要选择这条边（此时图中的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通那么就选择使其连通。

　　第三步：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。

二、Prim普利姆算法

　　普利姆算法的核心思想是：从任意一个顶点出发将该顶点加入顶点集U并解锁相邻的边，并找到满足得到最小生成树的那条最小的边，将该边的另一个顶点加入顶点集U并继续解锁相邻的边，直到所有顶点加入顶点集U生成一棵最小生成树。

　　普利姆算法的执行步骤：

　　第一步：选择图中某一顶点开始，加入顶点集U，并解锁相邻的所有边

　　第二步：从解锁边中选择满足条件的一条权值最小的边，将新的顶点加入顶点集U；

　　第三步：循环第二步，直到所有顶点加入顶点集。