行列式解二元方程组

上一章我们有一个方程组

\[\begin{cases} 9x+y=12\\ x+8y=24 \end{cases} \]

我们将其转换为了矩阵形式

\[\begin{bmatrix} 9&1\\ 1&8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 12\\ 24 \end{bmatrix} \]

最左面的系数矩阵其实就是一个行列式,行列式使用竖线表示

\[\triangle= \begin{vmatrix} 9&1\\ 1&8 \end{vmatrix} \]

这个三角形不是角,它是行列式的符号,代表着行列式。读作"德尔塔",竖线同样是行列式的符号,用来代表行列式。
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行列式的左列对应未知数x,右列对应未知数y

  • 所以我们不需要在行列式中标出xy
  • 对于最右面的矩阵我们不需要把他们放进行列式里。

所以最终这个方程组矩阵用行列式来表达的话就是这个样子

\[\triangle= \begin{vmatrix} 9&1\\ 1&8 \end{vmatrix} \]

接下来说一说具体的解方程过程。

\[\begin{cases} 9x+y=12①\\ x+8y=24② \end{cases} \]

首先我们来画一个表格分析一下上面的方程组,在这个方程组的两个方程中等号右面都没有算式,所以我们称它这里列为常数列。

方程 x列 y列 常数列
9 1 12
1 8 24

我们使用行列式表示:

\[Δ= \begin{vmatrix} 9&1\\ 1&8 \end{vmatrix} \]

然后 我们将

  • 行列式的左下角乘右上角得到结果a
  • 行列式的左上角乘右下角得到结果b
  • 最后将a减b

如下图所示
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我们将a-b得到:

\[Δ=a-b=1*1-9*8=1-72=-71 \]

记住这个Δ,接下来我们继续之后我们要根据这个数字求出未知数x,y的具体数值。我们通常使用Δx,Δy,他们的意思就是代表行列式中的未知数x,y。

  • 求Δx,y时我们依然使用刚才的方法,不过细节有些变化
  • 当我们求Δx时,需要再x列替换为"常数列"
  • 当我们求Δy时,需要再y列替换为"常数列"

首先我们求Δx

  • 把原本的x列替换成常数列

\[Δx= \begin{vmatrix} 12&1\\ 24&8 \end{vmatrix} \]

  • 然后相乘

\[Δx=a-b=24*1-12*8=-72 \]

接下来求Δy

  • 把原本的y列替换成常数列

\[Δx= \begin{vmatrix} 9&12\\ 1&24 \end{vmatrix} \]

  • 然后相乘

\[Δy=a-b=1*12-9*24=-204 \]

现在我们知道了这些:

  • Δ=-71
  • Δx=-72
  • Δy=-204

现在让我们计算出真正的xy数值而不是Δ的xy数值。很简单,只需要将Δx,y除以Δ即可。

\[x=\frac{Δx}{Δ} \]

\[y=\frac{Δy}{Δ} \]

最后求xy:

\[x=\frac{Δx}{Δ}=\frac{-72}{-71}=1.014 \]

\[y=\frac{Δy}{Δ}=\frac{-204}{-71}=2.873 \]

让我们来验证一下,这个方程组解是否成立

\[\begin{cases} 9x+y=12①\\ x+8y=24② \end{cases} \]

\[①9*1.014+2.873=11.999\approx12\\ \]

\[②1.014+8*2.873=23.998\approx24\\ \]

可以看到,解是正确的。

我们使用矩阵法求二元方程时只需要3步:

  1. 分析各行列
  2. 行列式相乘得到Δ与Δxy
  3. 用Δxy除以Δ,得到xy

用行列式和矩阵求解时,对于矩阵本身来说是没什么作用的,他只是一个在数学中的表格,方便我们规划各行列。像我们用手画一个表格也可以,只不过矩阵更方便,我们不可能到哪里都有条件画个表格。

行列式解二元方程组

接下来再进一步讲解三元的方程组,三元方程组大概的思路和上面的二元一样,不过因为其未知数多了一个所以要稍微麻烦一点,只要熟练了也很快。

现在我们有一个三元方程组

\[\begin{cases} 5x+4y+9z=57①\\ x+8y+4z=24②\\ 2x+8y+(-1)z=45③ \end{cases} \]

我们使用矩阵分析行列式:

\[\begin{bmatrix} 5&4&9\\ 1&8&4\\ 2&8&-1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 57\\ 24\\ 45\\ \end{bmatrix} \]

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之后我们依然相乘不过这次更复杂:

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如图所示,我们只需要将(a1+a2+a3)得到的就是一个更抽象的a,b也同理。之后我们将a-b即可。

  • a1=-1*5*8=-40
  • a2=2*4*4=32
  • a3=1*8*9=72
  • b1=2*8*9=144
  • b2=5*8*4=160
  • b3=4*1*(-1)=-4

\[Δ=a-b=((-40)+32+72)-(144+160+(-4)) \]

\[Δ=64-300=-236 \]

之后我们还要求出Δxyz

  • Δx,接着用上面的方法,先乘在减:

\[Δx= \begin{vmatrix} 57&4&9\\ 24&8&4\\ 45&8&-1 \end{vmatrix} \]

  • a1=-456,a2=720,a3=1728
  • b1=3240,b2=1824.b3=-96

\[Δx=a-b=1992-4968=-2976 \]

  • Δy:

\[Δy= \begin{vmatrix} 5&57&9\\ 1&24&4\\ 2&45&-1 \end{vmatrix} \]

  • a1=-120,a2=456,a3=405
  • b1=432,b2=900,b3=-57

\[Δy=a-b=741-1275=-534 \]

  • Δz:

\[Δz= \begin{vmatrix} 5&4&57\\ 1&8&24\\ 2&8&45 \end{vmatrix} \]

  • a1=1800,a2=192,a3=456
  • b1=912,b2=960,b3=180

\[Δz=a-b=2448-2052=396 \]

最后用Δxyz除以Δ:

\[x=\frac{-2904}{-236}=12.61 \]

\[y=\frac{-534}{-236}=2.262 \]

\[z=\frac{396}{-236}=-1.677 \]

验证一下:

\[\begin{cases} 5x+4y+9z=57①\\ x+8y+4z=24②\\ 2x+8y+(-1)z=45③ \end{cases} \]

\[①5*12.61+4*2.262+9*(-1.677)=57.005\approx57 \]

\[①12.61+8*2.262+4*(-1.677)=23.998\approx24 \]

\[③2*12.61+8*2.262+(-1)*(-1.677)=44.993\approx45 \]

可以看到三元方程求解过程也差不多,无非就是相乘的路径复杂一些,不过只要你能跟着这个例子做完基本能够掌握了。注意,这种系数相乘的方法叫做"萨拉斯方法"而非十字相乘,他俩不是一个东西。

使用矩阵法无疑是最简单的一种,只需要会加减乘除就好了。当然了,我们也可以用"替代法、消除法、高斯消元法",这些可以自己去找资源学。矩阵法的缺点就是只能算线性的也就是只能算一次的,所以需要化简变化成一次的...

最后还是那句话,我们遇到的方程几乎都不会吻合某个特定的公式,解方程其实最重要的是化简和变形而不是那些公式或是方法。

化简和变形就是一种逻辑思维,假如我们什么公式或是方法也不会,就只会基本的加减乘除一样可以把方程给它解出来,像是下面这种方程

\[2x+3=7 \]

我们就可以把等式两边-3,然后再同时除以2,就得到了x=2。面对复杂的方程变形就像是连连看,化简就像是消消乐。要么把化简变形后符合某个公式形式的方程套到公式里,要么就一直化简变形徒手解出来。

如果是实在学不进去数学也没关系,没有必要死磕,毕竟我们学的是电。不过就算学不进去也需要知道数学中有这个东西,就像这个矩阵法你可以不会算,但是大概的流程是什么你得知道,也得知道数学里有这个东西可以解决相应的问题,否则遇到了某个问题就算是给你个计算器你也不知道怎么算。

电桥电路

通常我们所说的电桥电路是指"惠斯通电桥",如下图:
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  • G代表的"检流计",这是可以把它看作是非常灵敏的电流表,可以有效的检测小电流。(由于仿真软件没这玩意,所以直接这里直接用电阻值非常低的电流表代替)

所谓的电桥电路就是电流分流到两个支路后又重新合并,从分流开始到合并的地方就叫做电桥电路,也就是上图中的A点到D点。电桥电路的作用就是测量一个元器件精确的电阻值。

  • 被测元件放在R4的位置。
  • 如果检流计的电流为0,就说明这个这个电桥是平衡的,只有平衡我们才能成功测量R4

检流计的电流是多少才能让电桥平衡呢?我们也可以用联立方程来推导出来。

首先我们分析这个电路,可以得出三个闭合电路。
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接下来再看看各闭合电路的电流如何流通的。
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  • 你可能会疑问蓝色电流没有造成短路或是什么不走R2或R4回到负极,因为绿色橙色已经走了。我们分出来的三个闭合电路实际上是一个等效电路,它并不存在只是方便我们分析。而蓝色橙色方向相反却在一根导线里,所以互相抵消。也就是说R3到R4的电流流动了但也流不动,因为在过程中被蓝色抵消了,蓝色也同理被橙色所抵消所以R3到R1的蓝色电流也一样被抵消了,就像是三相电星形接法的星点一样,虽然也可能会剩余一些电流但非常微小,除非R1和R2的电阻阻值差距过大。

现在我们根据基尔霍夫定律,写出各个闭合电路的电源电压(电动势)

  • 绿色:

    \[E_绿=R_1(I_绿+I_蓝)+R_2*I_绿 \]

    • 啥意思呢?
    • 总算周知,电压的公式为V=I*R
    • 而基尔霍夫电压守恒定律告诉我们,在一个闭合电路中,各负载的电压降之和等于电源电压(电动势)。
    • 所谓的电压降我们上一章讲过了,就是我们平时说的电压,单位是V。
    • 所以这个方程的意思就是绿色闭合电路的电源电压为R1的电压R2的电压。
    • 为什么用电压?因为电流流动需要电压驱动,没有电压就没有电流,而绿色闭合电路的电流从R1和R2流过,因此我们只计算R1和R2的电压和。
  • 橙色:

    \[E_橙=R_3(I_橙-I_蓝)+R_4*I_橙 \]

    • 为什么是橙减蓝?因为橙色电流和蓝色电流相反。正极出发取+号,+号相反的电流取-号。
    • 你也可以写成(+I_橙+-I_蓝),例如1-1=0和(+1+-1=0),一个意思。
  • 蓝色:

    \[E_蓝=R_1(I_绿+I_蓝)+R_G*I_蓝+R_3(-I_橙+I_蓝) \]

    • 为什么这里橙色又变成负号了?
    • 因为都一样,只是方便计算。我们上一章提到过交换律结合律,例如(-1+1)和(1+-1)一个意思。
    • 之所以没事找事,是提醒各位在数学运算中要时刻的注意变形和化简,这样非常利于我们后续计算。

现在我们得到了三个方程,我们的目的是想要知道检流计的值到底是多少才能保证电桥平衡,那么我们需要这三个方程组成一个联立方程,之所以使用联立方程是因为我们有三个未知数也就是三条电流“橙蓝绿”,而且需要这三条电流的数值必须能同时够满足这三个方程的等式。因为这三个方程是我们抽象出来的等效电路,他们实际上并不存在。

\[\begin{cases} E_绿=R_1(I_绿+I_蓝)+R_2*I_绿①\\ E_橙=R_3(I_橙-I_蓝)+R_4*I_橙②\\ E_蓝=R_1(I_绿+I_蓝)+R_G*I_蓝+R_3(-I_橙+I_蓝)③ \end{cases} \]

可以看出来这是一个三元一次的方程组,但是现在这个方程组太丑了,如果直接放进矩阵里会让我们眼花缭乱,所以我们将这些方程按照其逻辑优化一下。

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  • 对于E绿:
    • 原式:

    \[E_绿=R_1(I_绿+I_蓝)+R_2*I_绿 \]

    • 首先R1和R2都被绿色电流流过所以

\[(R_1+R_2)*I_绿 \]

  • 相当于(R1*绿+R2*绿),然后R1比较特殊,它同时被蓝色流过,所以我们需要把R1再乘上蓝色,最终就是

\[(R_1+R_2)*I_绿+R_1I_蓝 \]

  • 对于E橙:
    • 原式:

    \[E_橙=R_3(I_橙-I_蓝)+R_4*I_橙 \]

    • 橙色优化的步骤和绿色一样,最终就是

\[(R_3+R_4)*I_橙+R_3I_蓝 \]

  • 对于E蓝
    -原式:

    \[E_蓝=R_1(I_绿+I_蓝)+R_G*I_蓝+R_3(-I_橙+I_蓝) \]

    • E蓝是最丑陋也是最复杂的,首先把每个负载都经过的电流都写出来找一下思路

    \[E_蓝=(R_1*I_绿)+(R_1*I_蓝)+(R_G*I_篮)-(R_3*I_橙)+(R_3*I_蓝) \]

    • 这里因为电流蓝电流与橙电流方向相反,所以其电压也相反。
    • 现在让我们看一下,首先我们把所有和蓝相乘的合并到一起,可以看到图中也是所有负载都被蓝色流过,所以这是合理的,所以就变成了:

    \[E_蓝=R_1*I_绿-R_3*I_橙+(R_1+R_G+R_3)*I_蓝 \]

    • 虽然R1和R3没有关系,但是因为"R3*I橙"本来就是负的,所以不要动负号,本质是这样的

    \[E_蓝=+(R_1*I_绿)++(R_1*I_蓝)++(R_G*I_篮)+-(R_3*I_橙)++(R_3*I_蓝) \]

\[E_蓝=+R_1*I_绿+-R_3*I_橙++(R_1+R_G+R_3)*I_蓝 \]

现在把优化后的方程重新放入我们的联立方程中:

\[\begin{cases} E_绿=(R_1+R_2)*I_绿+R_1I_蓝①\\ E_橙=(R_3+R_4)*I_橙+R_3I_蓝②\\ E_蓝=R_1*I_绿-R_3*I_橙+(R_1+R_G+R_3)*I_蓝③ \end{cases} \]

接下来放入矩阵,你也可以自己画一个表格,因为我们的1,2方程中并没有某些未知数的系数,所以把他们填0即可,"0*没有"等于0相当于没有

\[\begin{bmatrix} R_1+R_2&0&R_1\\ 0&R_3+R_4&R_3\\ R_1&R_3&R_1+R_G+R_3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_绿\\ I_橙\\ I_蓝\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} E_绿\\ E_橙\\ E_蓝\\ \end{bmatrix} \]

然后列出行列式Δ:

\[Δ= \begin{vmatrix} R_1+R_2&0&R_1\\ 0&R_3+R_4&R_3\\ R_1&R_3&R_1+R_G+R_3\\ \end{vmatrix} \]

然后计算其结果Δ蓝电流:

  • ΔI蓝:

\[Δ_{绿电流}= \begin{vmatrix} R_1+R_2&0&E_绿\\ 0&R_3+R_4&E_橙\\ R_1&R_3&E_蓝\\ \end{vmatrix} \]

最后求出真实的电流

  • 蓝电流

\[I_蓝=\frac{ Δ_{绿电流}= \begin{vmatrix} R_1+R_2&0&E_绿\\ 0&R_3+R_4&E_橙\\ R_1&R_3&E_蓝\\ \end{vmatrix} }{Δ= \begin{vmatrix} R_1+R_2&0&R_1\\ 0&R_3+R_4&R_3\\ R_1&R_3&R_1+R_G+R_3\\ \end{vmatrix}} \]

其中我们只求I蓝的电流就好,因为蓝电流经过检流计。过程这里就省略了,流程和之前一样,感兴趣的可以自己试试。

  • 总之我们知道蓝电流等于0才能让电桥平衡
  • 因为E绿E橙实际上都是指电源电压可以统称为E,最后我们推导出的分数的的分子应该是

    \[\frac{(R_2*R_3-R_1*R_4)E}{.......} \]

  • 那么我们就要证明这个分子必须等于0,才能证明当蓝电流等于0时才能让电桥平衡。
  • 而根据基尔霍夫第二定律"闭合电路所有负载两端的电压之和必定等于0"
  • 所以E蓝电流实际上就是它所有负载的两端电压之和,所以必定等于0。(看不懂可以回看我们之前最开始是怎样定义E蓝的方程的,之所以E蓝不等于E,是因为它并没有回到电源负极,因为E蓝被E橙抵消了,而E橙也被E蓝抵消了。所以实际上真正的电源电压E,是E绿,剩下的两个都在流动的过程中抵消)
  • 所以当E等于0时就代表整个电路都没有电,所以E必须不能等于0
  • 所以分子“(R2*R3-R1*R4)E”中,当E不等于0时,一定是括号中的某个被乘数为0或是被减数减去减数等于0
  • 进一步得出(R2*R3-R1*R4)一定会等于0
  • 最后我们我们可以根据(R2*R3-R1*R4)得出(R1*R4)一定等于(R2*R3)
  • 这是因为a-b=0,那么a=b。例如1-1=0那么1=1,25-25=0所以25=25

总之我们最终得到了一个公式"R1*R4=R2*R3",现在有了这个公式我们就很容易明白电桥电路的意义了,之前说的那么多都不如这个公式有用。

假如我们四个电阻(负载都有电阻),其中有一个我们不知道它的阻值是多少,那么此时我们就按照电桥电路搭配出一个电路,这样我们就可以使用得到的公式,根据任意三个已知的电阻求出未知的电阻阻值了,当然前提是我们需要确保电桥平衡,也就是检流计的电流为0,所以我们需要不断地调整其他三个电阻的阻值直到检流计的电流为0。

这种电桥电路通常都是应用于检测非常小的电阻,他比某些直接测电阻的器材更准确。

像是电阻表或万用表这种它们都是根据"偏位法",而电桥电路时根据"零位法"。
我们可以把偏位法看作是电子秤,使用方便但是对精细的值不准确。零位法可以看作天枰,虽然需要长时间调整,但是当调准好后会十分准确。

最后对电桥电路做个总结

  • 当R1R4=R2R3成立是那么就说明检流计所处的那条导线没有电压
  • 因为没有电压,也就没有电流,电桥平衡