曲率、曲率圆、曲率半径

【我弯了】图解曲率，曲率圆，曲率半径_哔哩哔哩_bilibili

曲率：是对曲线弯曲程度的一个衡量，也就是去衡量一个曲线弯还是直。

 

 

 看上去c2曲线明显是比C1曲线弯一点的,那如何来表在数学上面表达这个弯呢.

 

曲线上任意一点的切线和X轴正向的夹角叫做倾角。例如阿尔法1角度阿尔法2角度。曲线上2个红点处倾角是0度。

 

ΔS是弧长，在曲线C1上从A点走到B点倾角的变化是阿尔法1。在曲线C2上从C点走到D点倾角的变化是阿尔法2。

显然阿尔法二是大于阿尔法一的。这就相当于说C2要比C1弯一点。

 

 

平均曲率就是弧长所对应的转过的角度，也就是单位弧长所对应的转过的角度。

 

 这里得到的是一段弧线的平均曲率，例如一个圆当从A点到B点转动2分之派角度的时候对应的弧长是2*PI*R除以4,此时平均曲率就是1/R。那么弧线上某点的曲率又是怎样计算的呢？

其实切线的斜率就是由割线的斜率无限逼近而来的。

某点处曲率的定义其实和导数的定义是差不多的。

 

这个图可以算出弧线上点A点到B点的平均曲率那么现在呢让B点往A点无限靠近那么算出来的曲率几乎就是A点位置处的曲率了。

 

某点处的曲率就是那个公式.

 

 

定义切线的意义是什么呢？切线在某一个邻域内是对应的曲线最好的拟合。这样的话就可以画曲为直，了在某一个很小的领域内可以让直线代替曲线。切线相对于曲线来说，它是直线，它的方程更加的简单我们一般喜欢更加简单的东西

除了用直线拟合曲线以外，科学家们还用圆来拟合曲线。

在那个点的那段小邻域上，使用圆去拟合某一段弧线，与那段小邻域拟合的最好的圆就叫做曲率圆，这个圆的半径就叫做曲率半径。

小结：

曲率圆就是用一个圆去拟合一小段曲线。