线性的理解

数理中的「线性」和「非线性」到底指的是什么？ - 知乎 (zhihu.com)

两个变量之间存在一次方函数关系，就称它们之间存在线性关系。正比例关系是线性关系中的特例，反比例关系不是线性关系。更通俗一点讲，如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标，其图象是平面上的一条直线，则这两个变量之间的关系就是线性关系。即如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话，这两个变量之间的关系称为线性关系，因而，二元一次方程也称为线性方程。推而广之，含有n个变量的一次方程，也称为n元线性方程，不过这已经与直线没有什么关系了。

非线性，英文名non-linear，指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变，一阶导数不为常数

(11 封私信 / 82 条消息) 数学上经常说「线性代数、线性空间、……」，到底何为线性？为什么在诸多概念中反复强调？ - 知乎 (zhihu.com)

导数就是线性化——局部用线性函数逼近非线性函数。整套微积分就是线性化。用弧长微元近似代替曲线来求长度，这就是用线性对象来逼近非线性对象。矩形面积=长＊宽，双线性运算；用小矩形面积求和取极限求取曲边形面积，这就是线性化。数学家在具体运算方面的大部分工作就是把非线性对象线性化，比如更高级的，非线性偏微分方程的线性化。线性不是什么数学家凭空造出的概念，他就是人类的本能思维，只不过数学家把这种粗糙的想法系统化抽象化而已。

(40 条消息) 如何理解线性微分方程的「线性」？ - 知乎 (zhihu.com)

线性的解释所谓线性，就是一个未知量均匀变化，伴随着其他未知量均匀变化。例如线性函数y=kx+by=kx+by=kx+b xxx 每变化 Δx\Delta x\Delta x , 则 yyy 跟着变化 kΔxk\Delta xk\Delta x . 也就是说，每个未知量的次数必须是一次。