【线性代数的本质】为什么说线性代数研究的是空间变换？旋转矩阵坐标转换矩阵

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注：

1.在线性代数中 ，常常不把点看成是点，而是看成是一个由原点出发的向量。所以，点的坐标相当于是向量的坐标。

2.正方形（图中灰色图形）可以看成是由一大堆向量组成的图形，对这一堆向量进行A变换，即对正方形里面所有的向量都做一个A变换。A变换是让横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变。

3.A变换对应的变换是拉伸变换。

4.矩阵乘法就是在做一个空间变换。

5.矩阵的行列式的值是图像发生变换的面积的倍数，即：面积变化为原来的2倍。

 

注：

1.平面中，任何一个二维向量在被B作用后，将会逆时针旋转θ的角度(在同一个坐标系中)。这里说的是在同一个坐标系中，经过一个旋转矩阵的左乘后，点的位置发生了变化。

2.下面的推导是坐标转换的推导，是同一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系下的坐标。

上面的推导有小错误，现在订正如下：

 

 

 

下面看矩阵乘法为何是不可交换的？

 

 

 

注：

1.1和2的过程，假如结果一样，就认同矩阵乘法可交换，假如结果不一样，就认为矩阵乘法不可以交换，即不满足交换律。

2.矩阵的乘法虽然没有交换律，但是有结合律，简而言之，就是满足就近原则。

 

 

 

注：

1.

 2.对于一个几何图形而言，先旋转后拉伸和先拉伸后旋转效果一般是不会一样的。

 

 

 

注：

1.对于二维图形来说，是面积的一个放大率。

2.对于三维图形来说，是体积的一个放大率。

3.旋转变换不会改变图形的面积，所以旋转变换放大倍率是1。

4.行列式的几何意义：图形左乘矩阵做空间变换前后的一个放大倍率。

空间变换的两种特殊情况：

情况1：

空间变换的矩阵中有负值：

 

情况2：

空间变换的行列式等于0.

 

注：

1.这个空间变换后，图像看起来像是被压扁，从二维的图像变成了一维的线了（降维）。而线段没有面积，所以放大率是0（相当于面积乘以0）.

2.空间变换也可以把三维的物体变成二维的图像。

矩阵的可逆与不可逆：

 

 

注：

1.假如空间变换对于的矩阵，使得图像是在同一个维度之间发生变化的，比如二维图像的拉伸，旋转（此时的空间变换矩阵的行列式不为0，拉伸的话，行列式是一个数值，旋转的话，行列式的值的1），那么这个过程还是可以变回去的，就意味着空间变换矩阵是可逆的。

2.假如空间变换是让三维的图像变成了二维（此时的空间变换矩阵的行列式一定为0），或者让二维的图像变成了一维（此时的空间变换矩阵的行列式也一定为0），那么这个过程就是不可以变回去的，这意味着空间变换矩阵是不可逆的。