“特征空间”的几何解释

【线性代数的本质】“特征空间”的几何解释_哔哩哔哩_bilibili

 

 

注：

1.x轴上所有的向量都是矩阵A的特征向量，被A作用后，都是放大了2倍。

2.x轴是一个一维空间。这个一维空间的基可以是向量(1,0)。

3.特征值2所对应的特征向量有很多、很多、很多。。。，这么多特征向量所组成一个空间，叫做特征空间。这个特征空间是基向量(1,0)所张成的一个空间。同理，特征值3也对应了一个特征空间，这个特征空间是基向量(0,1)所张成的一个空间。

4.一个特征值所对应的特征向量的线性组合还是特征向量。

特征值2对应特征向量(1,0)，(1,0)的线性组合还是x轴上的向量，还是特征向量。

特征值3对应特征向量(0,1)，(0,1)的线性组合还是y轴上的向量，还是特征向量。

这是一维的情况，这个只出现了一维的特征空间。

5.二维情况

 

向量经过矩阵A的作用，会让原来的向量在x方向伸长2倍，在y方向伸长2倍.特征值是2，2。

写两个2分别代表x方向和y方向上的特征值。

 

在一维的情况下，因为同一个特征值所对应的特征向量的线性组合还是特征向量，在二维情况下，特征值2所对应的特征向量是向量i和j，那么，向量i和j的线性组合所构成的向量是否仍然是特征向量呢？

不相关的向量i和j显然是可以张成一个二维空间的。

向量i和j的线性组合可以表示整个二维空间中的向量，或者整个二维空间中的点。

矩阵B的作用是让所有向量都在原来的基础上放大（伸长）2倍。

 

 

所有向量在x方向和y方向都拉伸2倍，相当于是直接拉伸2倍。

在二维平面上，向量在2个方向（x方向和y方向）上拉伸的倍数相同，向量的方向不会发生改变。

 

所以，2对应了很多很多的特征向量，这些特征向量会充满整个二维平面，它们（这些特征向量）组成了特征空间。

这里要排除0向量，它比较特殊，没有方向。或者也可以定义它有所有方向，所以用它做特征向量不是很合适。因为特征向量都是有方向的向量。

6.看三维的情况

 

特征值3所对应的特征向量在x轴上，第1个特征值2所对应的特征向量在y轴上，第2个特征值2所对应的特征向量在z轴上。

矩阵C的作用是：在三维空间中，把向量在x方向拉伸为原来的3倍，在y方向拉伸为原来的2倍，在z方向拉伸为原来的2倍。

所以，如果给出一个小的灰色的正方体，就会被拉伸成一个大一点的长方体。

 

 

 

 

 

(1,0,0)是特征值3所对应的特征向量。

(0,1,0)和(0,0,1)是特征值2所对应的特征向量。

把yoz面拿出来：

 

2所对应的特征向量，是yoz平面上所有向量。在这个平面上，所有向量都会被拉伸为原来的2倍而保持方向不变。2所对应的特征向量组成了一个特征空间。

3所对应的特征向量，充满三维空间中的x轴。这些特征向量组成了一个特征空间。

总结：

特征空间的定义：某特征值对应的特征向量的线性组合依然是特征向量，这些线性组合后的特征向量组成了特征空间。