特征值和特征向量、基向量、线性变换

数据科学【系列2】｜线性代数｜5 特征值和特征向量、基向量、线性变换_哔哩哔哩_bilibili

注解：

1.v向量是平面直角坐标系中的任一向量，则它可以由基向量i和j线性表示。

2.基向量的线性组合可以表示出整个平面中的任一向量。

3.一个坐标系相当于是一个参考系统。

4.基向量不一定由相互垂直的单位向量i和j代表，只要是平面中线性无关的两个向量都可以作为一组基向量。

5.以新的基向量(2 1)和(1 1)作为基向量，也可以建立一个坐标系（参考系）。向量（3,2）在这个参考系下被映射成向量(8,5).

 

 

6.如果以新的坐标系作为参考系的话，v向量是(3 2)，假如以原来的坐标系作为参考系的话，那么v向量是(8 5).

7.以(0 1)和(1 0)作为基向量所代表的坐标系下，(3 2)向量是它本来的样子。因为以(0 1)和(1 0)作为基向量所定义的坐标系或者说空间，没有发生任何拉伸，旋转或者扭曲。所以(3 2)向量还是它本身。

 

 

8.以(2 1)和(1 1)作为基向量建立的参考系下，(3 2)向量被拉伸了。被旋转拉伸成了(8 5)向量。(3 2)向量还是(3 2)向量，发生变化的是参考系。

 

 

9.(8 5)向量是相对于原始的参考系而言的。

 

 

注解：

1.特征向量：eigen vector. eigen在德语中是独特的，特有的意思。

2.特征向量是反应事物的一个特性和独有的特征的一个量。

3.等式的左边是A矩阵乘以一个v向量，这相当于是A对v的一个线性变换。

4.(3 1)和(-2 0)相当于是一组基，这组基可以建立一个平面坐标系。在这个参考系下，向量(2 1)缩放成了(4 2)向量，它刚好是(2 1)向量的2倍。即以(3 1)和(-2 0)为基建立的参考系，作用在向量(2 1)上，使得向量(2 1)的长度变化了2倍，方向没有发生变化。

5.在以(3 1)和(-2 0)为基建立的这个参考系下，向量(2 1)没有被旋转，只是发生了拉伸。这种在某个坐标系下，方向没有发生改变，只是大小发生了改变的向量，叫做特征向量。放大或者缩小的倍数，叫做特征值。

6.(2 1)向量就是矩阵A所代表的参考系的特征向量，数字2是矩阵A的对应(2 1)特征向量的特征值。

7.矩阵A对向量v做线性变化后，结果（还）是向量v乘以一个常数，v的方向并没有改变，只是长度发生了拉伸改变。

8.向量所处的空间发生了一定的扭曲变化（由以基向量(0 1)和(1 0)作为基向量所组成的坐标系变成了以(3 1)和(-2 0)为基向量建立的参考系），而向量v本身只是大小发生了变化，方向未变。

9.一个人站在不同的哈哈镜前面，会发生不同的扭曲程度，但是这个人本身并没有发生改变，所以特征向量是比较能反应一个事物特性和本质的量。(哈哈镜相当于是不同的基向量组成的空间，基向量不一样，空间发生的扭曲也不一样)。