线性代数第一讲 行列式01

概述

1.行列式+矩阵   基础篇

2.向量组+方程组  主题篇

3.特征值+二次型  应用篇

                           行列式

                

这个叫2阶行列式：2行2列的数字用类似于绝对值的符号括起来【但不是绝对值符号】。行列式一般以2阶为起点，一阶行列式是这个数字本身。

2阶行列式的值具有某种几何意义。举例如下，A是一个一般的2阶行列式。

 已知：OA的模是a,OB的模是b.

一个有趣的结论：2阶行列式的值等于以它的行向量为邻边所组成的平行四边形的面积（柯西）。

证明：

 推广：3阶行列式的值等于以它的3个行向量为邻边（棱）所组成的平行六面体的体积。

 

所以，3阶行列式不等于0 <=> 以3个行向量为棱组成的平行六面体体积不等于0 <=> 3个行向量线性无关 <=> 它们之间的夹角不等于0.

3阶行列式等于0 <=> 以3个行向量为棱组成的平行六面体体积等于0 <=> 3个行向量线性相关  <=> 他们方向相同或者相反<=> 它们之间的夹角等于0. 

2阶行列式同样如此，只不过行向量组成的是一个平行四边形。

行向量线性无关指的它们不能相互表示。

行向量线性相关指的它们能相互表示。

 行列式算出来是几不是最重要的，是否等于0才是最重要的事情。

 行列式的性质：

性质1 行列式转置，其值不变。|A|=|A^T|。

所以可以推出，行列式行的性质是什么，列也具有同样的性质。

•  性质2 行列式某行（列）元素全为0，则行列式等于0.

在2维平面中：

0行向量代表原点，是一个点，和其它行向量无法组成面积。

0列向量代表原点，是一个点，和其它列向量无法组成面积。

在3维空间中：

0行向量代表原点，是一个点，和其它行向量无法组成体积。

0列向量代表原点，是一个点，和其它列向量无法组成体积。

• 性质3 行列式中某行（列）元素具有公因子k(k≠0)，则它可以提到行列式的外面。

 

证明：相当于一条边拉长k倍，而高不变，所以面积变为原来的k倍。

• 性质4 如果行列式某行或者某列是两个元素之和，则行列式可以拆成两个行列式之和【这个叫单行（列）可拆性】。

注意：倒过来看，如果两个行列式可以相加，那么必须是只有某一行或者某一列可以相加。

• 性质5 行列式中，两行或者两列互换，行列式反号。

假设互换了两行，相当于α>β，所以有：

 

• 性质6 行列式的两行或者两列相等或者对应成比例，行列式为0。

证明：两行或者两列为0，在平面中，说明两个行向量共线，或者说夹角为0，所以平行四边形面积也为0.

• 性质7 行列式某行（列）的k倍加到另外一行（列），行列式值不改变。

证明：利用性质4（“可拆性”）和性质6，即可得到结果。