绕单轴的旋转矩阵
对于绕单轴的旋转矩阵,很多小伙伴分不清楚到底是B转W还是W转B的,下面就先用上面对旋转矩阵的理解来推导一下绕单轴的旋转矩阵,然后介绍下怎么记忆。注意对旋转正负号的定义,惯用的定义是,从原点沿着坐标轴看,顺时针为正。下面看图。
上图:初始状态的W和B系
上图:Z轴旋转
上图:绕Y、X轴旋转
这样就通过计算B系各坐标轴在W系的投影得到了绕各轴旋转的 ,反之计算W系在B系的投影就可得到绕各轴旋转的
,不过因为它们互为转置,所以得到了一个,就知道另一个了。
注意这里的W系和B系可以换成任意两个坐标系,只要把握哪个坐标系是动坐标系,以及我们要找哪个坐标系到哪个坐标系的旋转矩阵就不容易出错了。
绕单轴的旋转矩阵对角线都是余弦或1,其他的0元素也很容易确定,讨厌的就是正弦函数前面的正负号了。那么我的记忆方法就是。。。还是把旋转的两个轴画出来,然后只要确定一个正弦的符号,另一个位置的正弦取相反的符号就行了。确实还是挺麻烦,不过按照这个理解是不会搞错B转W和W转B的,大家可以试一试。
我们把绕x、y、z的从B系到W系的单轴旋转矩阵分别 、
、
,那么就有
,正好对应了从B系到W系的旋转顺序。这也叫链式法则,相信大家看过相关书都明白,以及旋转矩阵的逆就是它的转置,表示相反的坐标转换,也都不再赘述。