泰勒展开，泰勒公式，泰勒级数

(1 封私信 / 44 条消息) 如何通俗地解释泰勒公式？ - 知乎 (zhihu.com)

泰勒：任何函数都可以展开成多项幂函数的和的形式。

 

 

sinx晚上取听相声去了，回来后，cosx不认识他了，因为他听相声听的太乐了（泰勒了），乐开了花，就展开了。

对于可导函数，它有一个完全等价的，但是更高层次的表示。

任何可导函数都是幂函数的叠加。

任何可导函数f(x)都可以展开成多项幂函数的和的形式，这是所有函数，不管你是正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、还是对数函数Inx、指数函数e^x，。。。等什么函数，你们最终都有一个统一的形式----幂函数的叠加，这实现了数学上最高形式的美：统一美。

余项

 

泰勒在后面画了一个圈，表示后面的项很小很小，但是又不能忽略。

 阶数越高，趋近于0的速度越快。

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任何可导函数都有一个统一的形式，统一美的形式。

 

 

 

不等式2之间的差值是一个有限的数，是中学的比较两个数的方法。

不等式1之间的差值是不是一个有限的数。

1中，两边都是趋于0的，则它们的差也是趋于0的。不等式1可以看成是：

 

 

A永远远远大于无穷小个A。A乘以一个无穷小相当于是无穷小个A.

高等数学中是不用>>来比较两个函数的大小的，是通过无穷小比阶（极限状态下的比阶）来比较的。

x与x³之间的差别是天壤之别，相减的结果还是无穷小，还是看不出来谁大谁小。用比阶的方法才能看出来何为大，何为小。

 

 

展开式中，x是主项（主部），x在，后面的部分是微不足道的。

 

 

 泰勒画一个圈之后，后面皮亚诺把它越画越小，最后化成了小写的O。

 

 

 几阶无穷小？n写几，是看x的幂写几。x的右上方写1，那O(x)括号里面x的右上方也写1.

 

 

 

 sinx与x等价的原因是它们是同阶无穷小。

 

 

 x是sinx的主部，主部就是等价无穷小。

函数的展开式展开到第几项为止？只需写处老大（主部）。

 

 

sinx-x的解释：

当x没有的时候，-x³/6是剩下项数里面的老大了。

 

 

 成为了左边的x-sinx的主部了。

 

 

 

 

 

 

 

 8个泰勒公式：

 

 

下面的式子个别可以通过上面的式子求导得出。

 

 

 暂时结束。

 

 

例如：

 

 一图胜前言，此处有$\mathrm{sin(x)的展开动图。}$

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$\mathrm{函数f(x)利用泰勒公式在某一点的展开：}$

$\mathrm{c属于（a,x）最后一项Rn(x)是皮亚诺余项，一般来说项数展开的比较多的时候，这一项会趋近于0。}$