matlab的拟合函数polyfit()函数

 matlab的多项式拟合：

polyfit()函数

 功能：在最小二乘法意义之上，求解Y关于X的最佳的N次多项式函数。

clc;clear;
close all;
x=[1    2    3    4    5];
y=[2.7    7.4    20.0    54.5    148.4];
r=corrcoef(x,y) ;%两个变量的相关系数
a=polyfit(x,y,2)   
x1=1:0.1:5;
P=polyval(a,x1);%a是多项式拟合后返回的系数
figure(1);hold on;plot(x,y,'r*',x1,P,'b-.');

注：a是返回的两次多项式的系数，返回结果是：14.3071  -51.9929   45.2000，这意味着拟合的多项式是：

 y=45.2000+（-51.9929）*x+14.3071*x^2

 

 

 

 

clc;clear;
close all;
x=[1    2    3    4    5];
y=[2.7    7.4    20.0    54.5    148.4];
r=corrcoef(x,y) ;
%a=polyfit(x,y,2)   
b=polyfit(x,y,3) 
c=polyfit(x,y,4) 
x1=1:0.1:5;
%Pa=polyval(a,x1);%a是多项式拟合后返回的系数
Pb=polyval(b,x1);%a是多项式拟合后返回的系数
Pc=polyval(c,x1);%a是多项式拟合后返回的系数
%figure(1);hold on;plot(x,y,'r*',x1,Pa,'b-.');
figure(1);hold on;plot(x,y,'r*',x1,Pb,'r-.');
figure(1);hold on;plot(x,y,'r*',x1,Pc,'g-.');

 

注：红色是三次拟合的结果。

绿色是四次拟合的结果。

 例1：

clc;clear;
close all;
x=[1    2    3    4    5];
y=[2.7    7.4    20.0    54.5    148.4];
r=corrcoef(x,y) ;
%a=polyfit(x,y,2)   
[b s]=polyfit(x,y,3) 
%c=polyfit(x,y,4) 
x1=1:0.1:5;
%Pa=polyval(a,x1);%a是多项式拟合后返回的系数
Pb=polyval(b,x1);%a是多项式拟合后返回的系数
%Pc=polyval(c,x1);%a是多项式拟合后返回的系数
%figure(1);hold on;plot(x,y,'r*',x1,Pa,'b-.');
figure(1);hold on;plot(x,y,'r*',x1,Pb,'r-.');
%figure(1);hold on;plot(x,y,'r*',x1,Pc,'g-.');

注：[b s]=polyfit(x,y,3) %这里返回的s是个结构体，s中的normr表示拟合的残差的二范。

---

 

以下例子的来源：https://blog.csdn.net/qq_33591755/article/details/82453757

有如下数据

时间t	1900	1910	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980	1990	2000
人口y	76	92	106	123	132	151	179	203	227	250	281

1. y与t的经验公式为 y = at^2 + bt + c

clear;
clf;                                                      %清除当前窗口
clc;
t = 1900:10:2000;                                         %时间t
y = [76 92 106 123 132 151 179 203 227 250 281];          %人口y

plot(t,y,'k*');
hold on;
% figure;       　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  %重新开一个图
p1 = polyfit(t,y,2);
h=polyval(p1, t);
plot(t, h);
axis([1900 2000 0 300]);                                  %图像xy轴范围

disp(char(['y=',poly2str(p1,'t')],['a=',num2str(p1(1)),'   b=',...
    num2str(p1(2)),'   c=',num2str(p1(3))]));

 2. y与t的经验公式为y = a e^(bt)

clear;
clf;                                                      %清除当前窗口
clc;
t = 1900:10:2000;                                         %时间t
y = [76 92 106 123 132 151 179 203 227 250 281];          %人口y
yy = log(y);                                              %指数基尼必需的线性化变形
p2 = polyfit(t,yy,1);
b = p2(1);
a = exp(p2(2));
y2 = a * exp(b*t);                                       %指数拟合函数式
plot(t,y,'rp',t,y2,'k-');
grid off;
xlabel('时间t');
ylabel('人口数(百万)');
title('人口数据');

 

 

 

 

最佳拟合次数的确定：

clc;clear;
close all;
x=[1    2    3    4    5];
y=[2.7    7.4    20.0    54.5    148.4];
for i=1:6
    y2=polyfit(x,y,i);
    Y=polyval(y2,x);%计算拟合函数在x处的值。
    if sum((Y-y).^2)<0.1
        c=i  
        break;
    end
end

polyfit
polyfit函数简介
polyfit函数是matlab中用于进行曲线拟合的一个函数。其数学基础是最小二乘法曲线拟合原理。曲线拟合：已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值。

用法
p = polyfit(x,y,n)

p = polyfit(x,y,n) 返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最小二乘方式中）。p 中的系数按降幂排列，p 的长度为 n+1

p(x)=p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1p(x)=p1xn+p2xn−1+...+pnx+pn+1
[p,S] = polyfit(x,y,n)

比上面多返回了结构体S，S可以在polyval中进行误差的计算

字段 说明
R Vandermonde 矩阵 x 的 QR 分解的三角因子
df 自由度
normr 残缺的范数

[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)

mu 是一个二元素向量，包含中心化值和定标值。mu(1) 是 mean(x)，mu(2) 是 std(x)。使用这些值时，polyfit 将 x 的中心置于零值处并定标为具有单位标准差，可以作为 polyval 的第四个输入以计算 p 在定标点 (x - mu(1))/mu(2) 处的解

简单的例子
利用polyfit和sin(x)函数拟合

x = linspace(0,4*pi,10);
y = sin(x);
%在区间 [0,4*pi] 中沿正弦曲线生成 10 个等间距的点

p = polyfit(x,y,7);
%七次拟合

x1 = linspace(0,4*pi);
y1 = polyval(p,x1);
figure
plot(x,y,'o');
hold on
plot(x1,y1,'r')
%画图

 

拟合的效果

 

 

 

polyval
polyval简介
主要用于多项式的计算

polyval用法
y = polyval(p,x)

y = polyval(p,x) 返回在 x 处计算的 n 次多项式的值。输入参数 p 是长度为 n+1 的向量，其元素是按要计算的多项式降幂排序的系数。
$p(x) = p_{1}x^{n} + p_{2}x^{n-1} + ... + p_{n}x + p_{n+1}$

y = polyval(p,x,[],mu)

[y,delta] = polyval(p,x,S) 使用 polyfit 生成的可选输出结构体 S 来生成误差估计值 delta。delta 是使用 p(x) 预测 x 处的未来观测值时的误差标准差估计值。如果 p 中的系数是 polyfit 计算的最小二乘估计值，polyfit 数据输入中的误差呈独立正态分布，并拥有常量方差，则 y±delta 至少包含 x 处 50% 的未来观测值。

[y,delta] = polyval(p,x,S)
[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)

 

 

官方链接：多项式计算 - MATLAB polyval - MathWorks 中国

polyvalm和polyval基本相似，只不过输入为矩阵，用作矩阵多项式的计算
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