高数个人理解杂谈 - 十大定理

泰勒公式太重要辣，前几个章节想要快速做题就差不多要求熟练掌握了，这里不做展开。总之，计算能力练起来，起点高了，题型解法能条件反射了，知道命题人改题的方式了，那就是真的学到东西了，而最快掌握的方式，说白就是练！

有界与最值定理： $f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上存在最大值M和最小值m。$
介值定理： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，最大最小值间 [m,M] 随意取值u， $\exists x \in [a,b]$ ，使得f(x)=u。
平均值定理： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，(a,b)间取n个点，这n个点区间内， $\exists x \in [x_{1},x_{n}]$ ，使得 $f(x)=\frac{f(x_{1})+f(x_{2})+ \dots +f(x_{n})}{n}$ 。
零点定理： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，f(a)，f(b)异号，则零点存在。
费马定理： $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处，①可导②取极值，则 $f'(x_{0})=0$ 。
- 证明：导数定义+保号性+极值定义。
罗尔定理： $(a,b)$ 上存在 $\xi ,f'(\xi)=0$ 。由费马引理易得。
- （1）[a，b]内连续
- （2）(a，b)内可导
- （3） $f(a)=f(b)$
拉格朗日中值定理： $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 。
柯西中值定理： $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 。
积分中值定理： $\int_{a}^{b} f(x)dx=f(\xi )(b-a)$ 。变上限积分+拉氏中值定理可证。
达布定理：可导，导函数不保号，则导函数必有零点。逆否命题换言之，若导函数不存在0点，则导函数必保号。由费马定理可证。

看到[a,b]连续需要联想到有界，然后往介值定理套，可以找到复杂表达式也在[m,M]间，也就等于 $f(\xi)$ 。

看到 $f(b)-f(a)$ 需要联想到拉格朗日，看到 $f$ 与 $f'$ 的关系也可以往这里面套。
如果，我说如果啊，还需要找一阶导和积分的联系，可以用拉格朗日之后两边取积分/积分中值定理。
除此之外，如果涉及高阶导，需要借助泰勒公式与原函数搭桥建立关系。这样一旦把高阶导转积分，奇函数（奇数次幂）直接就0了。

费马是个非常了不起的人，我们需要了解的费马定理可以推罗尔和达布，罗尔是拉格朗日的特殊情况，拉格朗日中值又是柯西中值的特殊情况。

积分中值可以用介值定理推，两侧同时积分，只不过这种情况 $\xi$ 取在a，b闭区间内；
拉格朗日中值证明了 $\xi$ 应取在a，b开区间内，考试直接用。不需要证明？答曰：考过了。

罗尔定理要注意变体，看到 $f×f'$ 想到平方；看到 $f'+\varphi (x)f$ 想到 $e^{\varphi (x)}f$ 。
实际运用中注意找函数值相等的点，可能会找到3个，然后连续两次罗尔。

达布定理只要求函数可导，也就是导函数存在，不要求导函数连续；有趣的是，这样一来导函数如果间断的话，是不可能存在第一类间断点的。试想一下，函数可导，原函数必连续且光滑，左导数=右导数=一个存在的值（间断点导数的函数值确定，不是∞），可去、跳跃和无穷间断点在间断点处用导数定义不能满足上句话的条件；这样一来，要使导函数不连续，间断点邻域内需要导数存在且不唯一的情况——也就是振荡间断点，典型的反例就是 $f(x)=x^{2}×sin(\frac {1}{x})$ 。后面讲到不定积分存在定理时会详细描述。