N囚徒挑战——一个图论相关的概率问题

N囚徒挑战——一个图论相关的概率问题

一个房间内有 \(n\) 个盒子，从 \(1\) 到 \(n\) 编号。同时有 \(n\) 个从 \(1\) 到 \(n\) 的号码牌随机打乱放入盒子中，每个盒子有且仅有一个号码牌。
现有 \(n\) 个囚徒，从 \(1\) 到 \(n\) 编号。要求所有囚徒完成一项挑战，如果所有囚徒挑战成功，那么他们就会被释放。挑战内容是：每个囚徒依次进入房间，打开并查看任意数量不超过 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) (向下取整)个的盒子内的号码，然后将所有盒子恢复原状。如果囚徒 \(i\) 查看的盒子里有一个含有自己的号码 \(i\)，则称该囚徒挑战成功。
挑战过程中所有囚徒禁止任何形式的交流。不过挑战前，所有囚徒有一次商议对策的机会，而且他们找到了最优策略！(最优策略的含义是，该策略下所有囚徒被释放的概率最高。对囚徒 \(i\) 来说，策略 \(f\) 可以生成一个数列 \(\left\{a_m\right\}(m≤\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)\)，其中囚徒 \(i\) 将在第 \(j\) 次打开第 \(a_j\) 个盒子)
给定 \(n\)，求出最优策略下囚徒被释放的概率。

---

将盒子与号码的关系看作有向图 \(G\)：如果盒子 \(i\) 内放有号码 \(j\) ，那么就存在一条从 \(i\) 指向 \(j\) 的有向边。不难发现，\(G\) 有一个重要特点：所有点的入度与出度均为 \(1\)，这说明 \(G\) 一定由一些（意思是至少一个）互不连通有向环组成（如果不明白可以仔细想一想，这和欧拉回路有些像，区别只是 \(G\) 不一定连通）。

于是我们的策略也就呼之欲出了：沿着环依次查找即可。换句话说，囚徒 \(i\) 应从与自己编号相同的盒子 \(i\) 开始，如果盒子 \(i\) 内放有号码 \(j\)，那么接下来就应该打开盒子 \(j\)，以此类推，直到找到自己的号码或次数达到上限为止。按照这一策略，所有囚徒被释放的充要条件是所有的环的长度都小于 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)，不过这个概率可不容易计算，我们从相反的角度入手。

考虑互补情况：存在一个长度超过 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 的环的概率 \(P'\) 。显然这一情况可以不重不漏地划分为：存在一个长度为 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1\), \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+2\),......,\(n\) 的环。于是我们有

$P'=\sum\limits_{k=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^{n}P'(k)$

那么如何计算 \(P'(k)\) 呢？首先挑出 \(k\) 个数成环，然后再对环上的点和剩下的点作全排列(注意，环上点的全排列属于圆排列)。我们得到：

对于 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor<k≤n\) ，存在一个长度为 \(k\) 的环的情况数为

$s=C_{n}^{k}·(k-1)!·(n-k)!=\frac{n!}{(n-k)!k!}·(k-1)!·(n-k)!=\frac{n!}{k}$

再除以全排列 \(n!\) 得到

$P'(k)=\frac{s}{n!}=\frac{1}{k}$

于是最终答案为

$P(n)=1-P'=1-\sum\limits_{k=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^{n}P'(k)=1-\sum\limits_{k=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}^{n}\frac{1}{k}$

当 \(n\) 趋近于无穷时，我们有极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=ln(2)\) ，于是大致有 \(\lim\limits_{n\to\infty}P(n)=1-ln(2)≈0.307\)

不得不说，虽然有着最优策略，但可怜的囚徒们被释放的概率还挺低的。

关于该策略的最优性：事实上我也不知道该怎么严格的证明。不过按题设条件，每次囚徒的选择都是互相独立的，而每个囚徒事实上可以做的选择只有两种：随机选择/按有向边走。随机选择的胜率只有 \((\frac{1}{2})^n\)，混合选择胜率也不高，因此按有向边走应该是最优策略。