训练题解_P8654合根植物

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• 关键词
• 思路
• 步骤
• CPP \(Code\)
• 复杂度分析

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关键词

并查集、集合合并、查询集合归属

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思路

本题是并查集的经典应用，主要涉及两个核心操作：集合合并和查询元素是否在同一集合。并查集是一种用于处理不相交集合的合并与查询问题的数据结构，通过维护每个元素的父节点，来表示元素所属的集合。在本题中，我们需要根据输入的操作类型（合并或查询），对元素进行相应的处理。

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步骤

1. 初始化并查集：创建一个数组 parent，用于存储每个元素的父节点，初始时每个元素的父节点是它自身，表示每个元素都属于一个独立的集合。
2. 查找元素所在集合的根节点：实现 find 函数，用于查找一个元素所在集合的根节点。在查找过程中，可以使用路径压缩优化，将元素直接连接到根节点，减少后续查找的时间复杂度。
3. 合并两个集合：实现 unite 函数，将两个元素所在的集合合并为一个集合。具体做法是找到两个元素所在集合的根节点，然后将其中一个根节点的父节点设置为另一个根节点。
4. 处理输入操作：根据输入的操作类型（\(Z_i = 1\) 表示合并，\(Z_i = 2\) 表示查询），调用相应的函数进行处理。对于查询操作，判断两个元素是否在同一集合内，并输出结果。

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CPP \(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long m,n,k,a,b,ans;
int f[1000005];
int find(int x)
{
	if(f[x]!=x)f[x]=find(f[x]);
	return f[x];
}
// 快读整数模板，支持不同整数类型
template <typename T>
inline T read() {
    T x = 0;
    int f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
 
// 快读 double 类型
inline double readDouble() {
    double x = 0, base = 0.1;
    int f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) {
        x = x * 10 + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    if (ch == '.') {
        ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) {
            x += base * (ch ^ 48);
            base /= 10;
            ch = getchar();
        }
    }
    return x * f;
}
 
// 快写整数模板，支持不同整数类型
template <typename T>
inline void write(T x) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if (x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
 
// 快写 double 类型，可指定保留小数位数
inline void writeDouble(double x, int precision = 6) {
    if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    long long integerPart = static_cast<long long>(x);
    write(integerPart);
    putchar('.');
    double decimalPart = x - integerPart;
    for (int i = 0; i < precision; ++i) {
        decimalPart *= 10;
        int digit = static_cast<int>(decimalPart);
        putchar(digit + '0');
        decimalPart -= digit;
    }
}
 
int main() {
    // 使用 read 函数读取数据( int intValue = read<int>();)
	int m=read<int>();
	int n=read<int>();
	int k=read<int>();
	for(int i=1;i<=m*n;i++)f[i]=i;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		int a=read<int>();
		int b=read<int>();
		f[find(a)]=find(b),f[find(b)]=find(a);
	}
	for(int i=1;i<=m*n;i++){
		if(f[i]==i)ans++;
	}
	write(ans);
    // 使用 write 或 writeDouble 函数输出结果(write(intValue);)
    return 0;
}

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复杂度分析

• 时间复杂度：初始化并查集的时间复杂度为 \(O(N)\)，每次查找和合并操作的平均时间复杂度接近 \(O(1)\)，因此总的时间复杂度为 \(O(N + M)\)。
• 空间复杂度：主要使用了一个数组来存储每个元素的父节点，空间复杂度为 \(O(N)\)。