SP3946 MKTHNUM - K-th Number 题解

一、题目描述：

　　给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$ , 你需要回答 $q$ 次询问。

　　　　$\mathrm{求}\mathrm{区}\mathrm{间}l\mathrm{到}r\mathrm{的}\mathrm{第}k\mathrm{小}\mathrm{值}$

　　数据范围：$1\le n,q\le 5\times {10}^5,\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{数}-{10}^9\le val\le {10}^9$

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 二、解题思路：

　　首先数据离散化，有效降低时间复杂度。

　　明显是一个主席树板子题，但是今天学的是 $\mathrm{整}\mathrm{体}\mathrm{二}\mathrm{分}$ 。

　　所以我们用 $\mathrm{整}\mathrm{体}\mathrm{二}\mathrm{分}$ 来做这个题，时间复杂度 $O(nlo{g}_2^{n^2})$ 。SPOJ 略微卡常。

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 三、完整代码：

#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
map <int,int> rak;
int n,m,tot;
int t[N],a[N],sa[N],ans[N];
struct Query{
    int l,r,k,id;
}q[N*2],q1[N*2],q2[N*2];
int ask(int x)
{
    int res=0;while(x)
        res+=t[x],x-=x&(-x);
    return res;
}
void upt(int x,int k)
{
    while(x<=n)
        t[x]+=k,x+=x&(-x);
}
//基本树状数组操作 
//solve(l,r,L,R)表示询问q[L]到q[R]的答案在l到r之间 
void solve(int l,int r,int L,int R)
{
    if(l>r||L>R)    return ;
    if(l==r)
    {
        for(int i=L;i<=R;i++)
            ans[q[i].id]=l;
        return ;
    }
    int cnt1=0,cnt2=0,mid=(l+r)>>1;
    //注意到数组总是在前面，询问总是在后面，不用担心 
    for(int i=L;i<=R;i++)
    {
        if(!q[i].id){
            if(q[i].l>mid) q2[++cnt2]=q[i];
            else upt(q[i].r,1),q1[++cnt1]=q[i];
        }else{
            int tmp=ask(q[i].r)-ask(q[i].l-1);
            if(q[i].k<=tmp)    q1[++cnt1]=q[i];
            else q[i].k-=tmp,q2[++cnt2]=q[i];
            //这里细节比较多，要细细的想一下 
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt1;i++)
        if(!q1[i].id)
            upt(q1[i].r,-1);
    //高效清空树状数组 
    for(int i=1;i<=cnt1;i++)
        q[L+i-1]=q1[i];
    for(int i=1;i<=cnt2;i++)
        q[L+i+cnt1-1]=q2[i];
    //这是节约空间的好办法，大概可以应用到 FFT 中 
    solve(l,mid,L,L+cnt1-1);
    solve(mid+1,r,L+cnt1,R);
    //分治，注意范围 
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>q[i].l,q[i].r=i,a[i]=q[i].l;
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(i==1||a[i]!=a[i-1])
            rak[a[i]]=++tot,sa[tot]=a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        q[i].l=rak[q[i].l];
    //离散化 
    for(int i=1,j=i+n;i<=m;i++,j++)
        cin>>q[j].l>>q[j].r>>q[j].k,q[j].id=i;
    solve(1,tot,1,n+m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cout<<sa[ans[i]]<<'\n';
    //注意答案还原 
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　嗨哟，终于把 $\mathrm{整}\mathrm{体}\mathrm{二}\mathrm{分}$ 搞懂了，收获经验如下：

　　$1、\mathrm{递}\mathrm{归}\mathrm{分}\mathrm{治}\mathrm{中}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{重}\mathrm{新}\mathrm{赋}\mathrm{值}\mathrm{节}\mathrm{约}\mathrm{空}\mathrm{间}=>Exp++!$

　　$2、\mathrm{树}\mathrm{状}\mathrm{数}\mathrm{组}\mathrm{好}\mathrm{板}\mathrm{子}，\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{背}\mathrm{就}\mathrm{行}=>Exp++$