P4630 [APIO2018] 铁人两项 题解

一、题目描述：

　　给你一个 $n$ 个点，$m$ 条边的无向图。图不一定联通

　　求出点对 $(u,c,v)$ 的数量，使得点 $u$ 存在一条经过点 $c$ 到达点 $v$ 的无向图。

　　数据范围：$1\le n\le 1\times {10}^5,1\le m\le 2\times {10}^5$

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 二、解题思路：

　　算是圆方树比较模板的题了吧。

　　首先化成树/森林，有环的话不好统计。

　　考虑固定两个点，求中间点的个数。

　　很明显同一个环上的任意两点可以通过环上其其它任意点到达彼此。

　　如果两个点的路径上有环则这个环上的所有点都可以作为中间点。

　　感觉就是求路径上方点的度数了，但是出现每个点会重复统计统计在两个方点内。

　　所以我们可以将圆点值赋为 $-1$，将方点的权值赋为它的度数。刚好也消除掉两个端点带来的影响。

　　于是转化为统计圆方树上任意两圆点之间的路径权值和，经典问题了。时间复杂度 $O(n+m)$。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#define N 200010
using namespace std;
long long ans;
int n,m,r,cc,tot;
vector <int> e1[N],e2[N];
int s[N],res[N],vis1[N],vis2[N];
int q[N],du[N],dfn[N],low[N],val[N];
void tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++tot;q[++r]=u;
    for(int to:e1[u])
    {
        if(!dfn[to]){
            tarjan(to),low[u]=min(low[u],low[to]);
            if(low[to]>=dfn[u]){
                cc++;du[cc]+=2;
                du[to]++,du[u]++;
                e2[cc].push_back(u);
                e2[u].push_back(cc);
                e2[cc].push_back(to);
                e2[to].push_back(cc);
                while(q[r]^to){
                    e2[cc].push_back(q[r]);
                    e2[q[r]].push_back(cc);
                    du[q[r]]++,du[cc]++;r--;
                }r--;
                //弹栈的时候不要把 u 也弹出来了 
            }
        }else low[u]=min(low[u],dfn[to]);
    }
}
void dfs1(int u,int ff)
{
    s[u]=u<=n;vis1[u]=1;
    for(int to:e2[u])
        if(to!=ff)
            dfs1(to,u),s[u]+=s[to];
}
void dfs2(int u,int ff)
{
    if(ff) res[u]=res[ff]+s[ff]-s[u];vis2[u]=1;
    if(u<=n){
        int sum=res[u]+s[u]-1;ans-=sum*2;
        for(int to:e2[u])
            if(to!=ff)
                ans-=1ll*s[to]*(sum-s[to]);
    //记得要判定 to!=ff 
        ans-=1ll*res[u]*(sum-res[u]);
    }else{
        int sum=res[u]+s[u];
        for(int to:e2[u])
            if(to!=ff)
                ans+=1ll*du[u]*s[to]*(sum-s[to]);
    //记得要判定 to!=ff 
        ans+=1ll*du[u]*res[u]*(sum-res[u]);
    }
    for(int to:e2[u])
        if(to!=ff) dfs2(to,u);
    //记得要判定 to!=ff 
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;cc=n;
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        e1[u].push_back(v);
        e1[v].push_back(u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(int i=1;i<=cc;i++)
        if(!vis1[i])
            dfs1(i,0);
    //注意图不连通 
    for(int i=1;i<=cc;i++)
        if(!vis2[i])
            dfs2(i,0);
    //注意图不连通 
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　好！第一道圆方树的题，很妙，很高兴！收获经验如下：

　　$1、\mathrm{彻}\mathrm{底}\mathrm{了}\mathrm{解}\mathrm{了}\mathrm{建}\mathrm{圆}\mathrm{方}\mathrm{树}\mathrm{的}\mathrm{过}\mathrm{程}。=>Exp++!$

　　$2、\mathrm{图}\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{不}\mathrm{连}\mathrm{通}，\mathrm{判}\mathrm{定}\mathrm{父}\mathrm{亲}\mathrm{边}\mathrm{上}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{有}\mathrm{变}，\mathrm{如}\mathrm{上}。=>Exp++!$

　　$3、vector\mathrm{好}\mathrm{像}\mathrm{确}\mathrm{实}\mathrm{有}\mathrm{点}\mathrm{慢}，\mathrm{链}\mathrm{式}\mathrm{前}\mathrm{向}\mathrm{星}\mathrm{好}\mathrm{快}，\mathrm{以}\mathrm{后}\mathrm{少}\mathrm{用}vector=>Exp++$