P4322 [JSOI2016] 最佳团体 题解

一、题目描述：

　　给你一颗 $n$ 个节点的有根树。节点 $i$ 的价值为 $v_i$，费用为 $w_i$。

　　你需要选择 $k$ 个节点，使得 $\frac{\sum _{i=1}^n{v}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$ 最大。

　　约束：选择一个节点之前，必须先选择它的父亲节点。（根节点除外）

　　输出 $\frac{\sum _{i=1}^n{v}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i}$ 的最大值。答案精确到三位小数。

　　数据范围 $1\le k\le n\le 2500，1\le v_i,w_i\le 1\times {10}^4$。

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 二、解题思路：

　　是我以前从未见过的分数规划题目。

　　分数规划题的形式就是让你求 $\frac{\sum _{i=1}^k{v}_i}{\sum _{i=1}^k{w}_i}$ 的最值。

　　其实写了一道题就不难了，个人觉得比较套路。一般我们二分求解分数规划。过程如下：

　　$\mathrm{二}\mathrm{分}\mathrm{枚}\mathrm{举}\mathrm{答}\mathrm{案}mid$

　　$\mathrm{若}mid\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{说}\mathrm{明}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{组}\mathrm{树}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{点}\mathrm{使}\mathrm{得}\frac{\sum _{i=1}^k{v}_i}{\sum _{i=1}^k{w}_i}>=mid$

　　$\mathrm{化}\mathrm{一}\mathrm{下}\mathrm{式}\mathrm{子}，\mathrm{得}\mathrm{到}\sum _{i=1}^k(v_i-mid\times w_i)>=0$

　　$\mathrm{令}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{点}x\mathrm{的}\mathrm{权}\mathrm{值}g(x)=v_x-mid\times w_x$

　　$\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{转}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{求}k\mathrm{个}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{的}g(x),\mathrm{是}\mathrm{否}\mathrm{和}\mathrm{大}\mathrm{于}0$

　　于是就是比较板的树形背包题了，时间复杂度 $O(nk\times lo{g}_2^{1e8})$

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#define N 3010
#define ll long long
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
#define tep(i,u) for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
using namespace std;
int n,m,s[N];
double g[N],v[N],w[N],f[N][N];
struct EDGE{
    int v,nxt;
}e[N*2];
int head[N],cnt;
void add(int u,int v){
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void Max(double &a,double b){a=max(a,b);}
void solve(int u,int ff){
    tep(i,u){
        if(e[i].v==ff) continue;
        int to=e[i].v;solve(to,u);
        per(j,min(s[u]+s[to],m),2)
            rep(k,max(1,j-s[u]),min(s[to],j-1))
                Max(f[u][j],f[u][j-k]+f[to][k]);
        s[u]+=s[to];
    }
}
bool check(double val){
    rep(i,1,n)
        g[i]=v[i]-val*w[i];
    rep(i,0,n)
        rep(j,0,m)
            f[i][j]=-1e9;
    rep(i,0,n)
        s[i]=1,f[i][1]=g[i];
    solve(0,0);
    return f[0][m]>=0;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>m>>n;m++;
    rep(i,0,n)
        head[i]=-1;
    rep(i,1,n){
        cin>>w[i]>>v[i];
        int ff;cin>>ff,add(ff,i);
    }
    double l=0,r=1e4,eps=0.0003;
    while(l+eps<=r){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) l=mid+eps;
        else r=mid-eps;
    }
    cout<<fixed<<setprecision(3)<<l<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　收获经验如下：

　　$1、\mathrm{新}\mathrm{知}\mathrm{识}\to \mathrm{分}\mathrm{数}\mathrm{规}\mathrm{划}。=>Exp++!$

　　$2、\mathrm{树}\mathrm{形}\mathrm{背}\mathrm{包}\mathrm{竟}\mathrm{然}\mathrm{是}O(n^2)\mathrm{的}，\mathrm{震}\mathrm{惊}!=>Exp++!$