P3911 最小公倍数之和 题解

一、题目描述：

　　给定 $a_1,a_2,\cdots ,a_N$，求

　　$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\mathrm{lcm}(a_i,a_j)$的值。

　　数据范围：$1\le n,a_i\le 5\times {10}^4$ 。

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 二、解题思路：

　　这个题绝对有必要写一篇题解。

　　首先就是题目中的式子的转化。

　　一个式子如果含有未知的要进行函数操作的数，便是难以化简的。

　　发现题目保证了 $a_i\le 5\times {10}^4$ 看了题解，于是可以记录数字的出现次数。

　　于是转化为求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}lcm(i,j)\times c_i\times c_j$ 。

　　好，开始愉快地推式子吧！

　　$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}lcm(i,j)\times c_i\times c_j=$$

　　$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{i\times j\times c_i\times c_j}{gcd(i,j)}=$$

　　$$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\frac{i\times j\times c_i\times c_j}{d}=$$

　　$$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[gcd(i,j)=1]i\times j\times c_{id}\times c_{jd}\times d$$

　　$$\mathrm{令}f(x,d)=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^x[gcd(i,j)=1]i\times j\times c_{id}\times c_{jd}$$

　　$$\mathrm{则}\mathrm{原}\mathrm{式}\mathrm{等}\mathrm{于}\sum _{d=1}^{n}d\times f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,d)$$

　　$$f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,d)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[gcd(i,j)=1]i\times j\times c_{id}\times c_{jd}=$$

　　$$\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{k\mid gcd(i,j)}\mu (k)\times i\times j\times c_{id}\times c_{jd}=$$

　　$$\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (k)\times k^2\times \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }i\times j\times c_{idk}\times c_{jdk}$$

　　$$\mathrm{再}\mathrm{令}g(x,m)=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{x}i\times j\times c_{im}\times c_{jm}$$

　　$$\mathrm{则}f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,d)=\sum _{k=1}^{n}g(\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor ,d\times k)\times \mu (k)\times k^2$$

　　$$g(\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor ,d\times k)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }i\times j\times c_{idk}\times c_{jdk}=$$

　　$$(\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }i\times c_{idk})\times (\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }j\times c_{jdk})$$

　　$$\mathrm{原}\mathrm{式}=\sum _{d=1}^n\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }d\times i\times j\times c_{idk}\times c_{jdk}\times \mu (k)\times k^2$$

　　$$\mathrm{令}T=d\times k$$

　　$$\mathrm{原}\mathrm{式}=\sum _{T=1}^{n}T\times \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor }i\times j\times c_{iT}\times c_{jT}\times \sum _{k\mid T}\mu (k)\times k=$$

　　$$\sum _{T=1}^{n}T\times {(\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor }i\times c_{iT})}^2\times \sum _{k\mid T}\mu (k)\times k$$

　　推个式子给我人推麻了$qwq$。

　　现在可以做了，时间复杂度 $O(nInn)$ 。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 50010
#define lim 50000
#define ll long long
using namespace std;
int n,cnt;
ll ans,g[N],c[N];
int p[N],f[N],mu[N],vis[N];
void pre_work()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;i++)
    {
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=lim;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        f[i]=mu[i]*i;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        for(int j=i;j<=lim;j+=i)
            g[j]+=f[i];
}
ll s(int m,int d)
{
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        res+=i*c[i*d];
    return res*res;
}
int main()
{
    cin>>n;pre_work();
    for(int i=1,x;i<=n;i++)
        cin>>x,c[x]++;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        ans+=g[i]*i*s(lim/i,i);
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　气死，推的式子比代码还长呜呜呜。收获经验如下：

　　$1、\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{将}\mathrm{数}\mathrm{本}\mathrm{身}\mathrm{转}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{出}\mathrm{现}\mathrm{次}\mathrm{数}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{计}\mathrm{算}。=>Exp++!$

　　$2、\mathrm{换}\mathrm{元}\mathrm{大}\mathrm{概}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{莫}\mathrm{比}\mathrm{乌}\mathrm{斯}\mathrm{反}\mathrm{演}\mathrm{中}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{比}\mathrm{较}\mathrm{常}\mathrm{见}\mathrm{的}\mathrm{技}\mathrm{巧}\mathrm{吧}，\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{多}\mathrm{练}\mathrm{习}。=>Exp++!$