P3704 [SDOI2017] 数字表格 题解

一、题目描述：

　　用 $f_i$ 表示斐波那契数列的第 $i$ 项，那么有：

　　$f_0=0,f_1=1;f_n=f_{n-1}+f_{n-2},n\ge 2$

　　现在有一个 $n$ 行 $m$ 列的数字表格，第 $i$ 行第 $j$ 列的数字是 $f_{gcd(i,j)}$ 。

　　求这个表格所有数的乘积。共有 $T$ 组数据，答案对 ${10}^9+7$ 取模。

　　数据范围：$1\le T\le {10}^3,1\le n,m\le {10}^6$ 。

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 二、解题思路：

　　我迄今为止做过的最难的莫比乌斯反演题！

　　话不多说，直接开始推式子。

　　$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^{m}f(gcd(i,j))=$$

　　$$\prod _{d=1}^n\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]f(d)=$$

　　$$\prod _{d=1}^{n}f(d{)}^{\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]}=$$

　　$$\prod _{d=1}^{n}f(d{)}^{\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1]}$$

　　$$\mathrm{令}g(x,y)=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)=1]$$

　　$$\mathrm{则}\mathrm{原}\mathrm{式}=\prod _{d=1}^{n}f(d{)}^{g(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )}$$

　　$$\mathrm{考}\mathrm{虑}g(x,y)=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)=1]=$$

　　$$\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y\sum _{d\mid gcd(x,y)}\mu (d)=\sum _{d=1}^x\mu (d)\times \lfloor \frac{x}{d}\rfloor \lfloor \frac{y}{d}\rfloor$$

　　$$\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{斐}\mathrm{波}\mathrm{那}\mathrm{契}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{的}\mathrm{乘}\mathrm{积}\mathrm{前}\mathrm{缀}\mathrm{和}，\mathrm{再}\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{逆}\mathrm{元}\mathrm{即}\mathrm{可}$$

　　$$\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}O(T\times (n+\sqrt{n}\times lo{g}_2^n))$$

　　$$\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{过}\mathrm{不}\mathrm{去}，\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{优}\mathrm{化}$$

　　$$\mathrm{将}g(x,y)\mathrm{带}\mathrm{入}\mathrm{原}\mathrm{式}，\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{原}\mathrm{式}=\prod _{d=1}^{n}f(d{)}^{\sum _{k=1}^{n/d}\mu (k)\times \lfloor \frac{n}{dk}\rfloor \lfloor \frac{m}{dk}\rfloor }$$

　　$$\mathrm{令}T=dk,\mathrm{则}\mathrm{原}\mathrm{式}=\prod _{T=1}^n{(\prod _{d\mid T}f(d{)}^{\mu (\frac{T}{d})})}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor }$$

　　$$\mathrm{令}g(x)=\prod _{d\mid x}f(d{)}^{\mu (\frac{x}{d})},\mathrm{原}\mathrm{式}=\prod _{T=1}^{n}g(T{)}^{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor }$$

　　$$\mathrm{考}，\mathrm{原}\mathrm{来}\mathrm{里}\mathrm{面}\mathrm{的}g(x)\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{暴}\mathrm{力}\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{来}，\mathrm{调}\mathrm{和}\mathrm{级}\mathrm{数}!$$

　　$$\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}O((T\sqrt{n}+n)\times lo{g}_2^n)$$

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 1000010
#define lim 1000000
#define ll long long
#define M 1000000007
using namespace std;
ll ans,f[N],g[N],inf[N],ing[N];
int T,n,m,cnt,mu[N],p[N],vis[N];
ll ksm(ll base,ll q)
{
    ll res=1;
    while(q){
        if(q&1) res*=base,res%=M;
        base*=base,base%=M,q>>=1;
    }
    return res;
}
void pre_work()
{
    mu[1]=f[1]=g[0]=ing[0]=1;
    for(int i=2;i<=lim;i++)
        f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%M;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        inf[i]=ksm(f[i],M-2),g[i]=1;
    for(int i=2;i<=lim;i++)
    {
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=lim;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        for(ll j=i;j<=lim;j+=i)
        {
            if(mu[j/i]==1) g[j]=g[j]*f[i]%M;
            if(mu[j/i]==-1) g[j]=g[j]*inf[i]%M;
        }
    for(int i=1;i<=lim;i++)
        g[i]=g[i]*g[i-1]%M,ing[i]=ksm(g[i],M-2);
}
void solve()
{
    cin>>n>>m; ans=1;
    if(n>m) swap(n,m);
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
    {
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans%=M;
        ans*=ksm(ing[l-1]*g[r]%M,1ll*(n/l)*(m/l)%(M-1));
    }
    cout<<ans%M<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>T;pre_work();
    for(int i=1;i<=T;i++)
        solve();
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　收获很大，了解了一些套路和技巧。收获经验如下：

　　$1、\mathrm{当}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{化}\mathrm{不}\mathrm{出}\mathrm{来}/\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}\mathrm{过}\mathrm{高}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{候}，\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{将}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{带}\mathrm{入}\mathrm{原}\mathrm{式}\mathrm{中}，\mathrm{换}\mathrm{元}，\mathrm{看}\mathrm{看}\mathrm{有}\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{什}\mathrm{么}\mathrm{新}\mathrm{发}\mathrm{现}。=>Exp++!$

　　$2、\mathrm{时}\mathrm{刻}\mathrm{记}\mathrm{得}\mathrm{很}\mathrm{多}\mathrm{东}\mathrm{西}\mathrm{都}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{预}\mathrm{处}\mathrm{理}。\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{写}\mathrm{成}\mathrm{类}\mathrm{卷}\mathrm{积}\mathrm{的}\mathrm{形}\mathrm{式}，\mathrm{往}\mathrm{往}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{调}\mathrm{和}\mathrm{级}\mathrm{数}O(nI{n}^n)\mathrm{地}\mathrm{预}\mathrm{处}\mathrm{理}=>Exp++!$

　　$3、\mathrm{当}\mathrm{快}\mathrm{速}\mathrm{幂}\mathrm{的}\mathrm{幂}\mathrm{次}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{取}\mathrm{模}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{候}，\mathrm{是}\mathrm{对}mod-1\mathrm{取}\mathrm{模}!\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{费}\mathrm{马}\mathrm{小}\mathrm{定}\mathrm{理}，a^{p-1}\equiv 1(modp)。\mathrm{这}\mathrm{里}\mathrm{要}\mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{注}\mathrm{意}！=>Exp++!$