P1891 疯狂 LCM 题解

一、题目描述：

　　$T$ 组数据，每组数据给定 $n$，求$\sum _{i=1}^{n}lcm(i,n)$

　　数据范围：$1\le T\le 3\times {10}^5，1\le n\le 1\times {10}^6$ 。

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 二、解题思路：

　　个人觉得思维难度不大，只是要记住一个结论：

　　$\sum _{d\mid n}d=\frac{\phi (n)\times n}{2}$

　　这个公式对于 $1$ 以外的正整数都成立。

　　证明一：$\mathrm{若}gcd(i,n)=1,\mathrm{则}gcd(n-i,n)=1$

　　　　$\mathrm{反}\mathrm{证}：\mathrm{假}\mathrm{设}gcd(n-i,n)=k,k\mathrm{为}\mathrm{大}\mathrm{于}1\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}$

　　　　$\mathrm{则}n-i=a_1\times k,n=a_2\times k,i=(a_2-a_1)\times k$

　　　　$\mathrm{所}\mathrm{以}gcd(i,n)\mathrm{至}\mathrm{少}\mathrm{为}k，\mathrm{矛}\mathrm{盾}，\mathrm{命}\mathrm{题}\mathrm{得}\mathrm{证}$

　　证明二：$\sum _{d\mid n}d=\frac{\phi (n)\times n}{2}$

　　　　$\mathrm{由}\mathrm{证}\mathrm{明}\mathrm{一}\mathrm{得},\mathrm{若}gcd(i,n)=1,\mathrm{则}gcd(n-i,n)=1$

　　　　$\mathrm{当}i\ne n-i\mathrm{时}，(i,n-i)\mathrm{对}\phi (n)\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\mathrm{为}2,\mathrm{对}\sum _{d\mid n}d\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\mathrm{为}n=2\times \frac{n}{2},\mathrm{成}\mathrm{立}。$

　　　　$\mathrm{当}i=n-i\mathrm{时}，(i,n-i)\mathrm{对}\phi (n)\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\mathrm{为}1,\mathrm{对}\sum _{d\mid n}d\mathrm{的}\mathrm{贡}\mathrm{献}\mathrm{为}\frac{n}{2}=1\times \frac{n}{2},\mathrm{成}\mathrm{立}。$

　　　　$\mathrm{综}\mathrm{上}，\sum _{d\mid n}d=\frac{\phi (n)\times n}{2}，\mathrm{命}\mathrm{题}\mathrm{得}\mathrm{证}。$

　　那这个题就不难了，推一下式子就行了，顺便证一下线性筛 $\phi ()$ 函数。

　　　　$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{若}x=p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times ...\times p_n^{e_n}$

　　　　$\mathrm{则}\phi (x)=n\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$

　　　　$\mathrm{欧}\mathrm{拉}\mathrm{筛}\mathrm{中}，\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{合}\mathrm{数}\mathrm{会}\mathrm{被}\mathrm{自}\mathrm{己}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{筛}\mathrm{掉}$

　　　　$\mathrm{设}\mathrm{当}\mathrm{前}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{为}x,\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{为}y,\mathrm{另}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{因}\mathrm{数}\mathrm{为}\frac{x}{y}$

　　　　$\mathrm{首}\mathrm{先}，x\mathrm{必}\mathrm{然}\mathrm{有}\mathrm{所}\mathrm{有}\frac{x}{y}\mathrm{的}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{子}$

　　　　$\mathrm{当}y\mid \frac{x}{y},\phi (x)=\phi (\frac{x}{y})\times y$

　　　　$\mathrm{当}y\nmid \frac{x}{y},\phi (x)=\phi (\frac{x}{y})\times (y-1)$

　　现在这个题就做完了，时间复杂度 $O(n+T\sqrt{n})$。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 1000010
#define lim 1000000
using namespace std;
int T,n,cnt;
long long ans,f[N];
int p[N],vis[N],phi[N];
void pre_work()
{
    phi[1]=f[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;i++)
    {
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<=lim;j++)
        {
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }else    phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
    for(int i=2;i<=lim;i++)
        f[i]=1ll*i*phi[i]/2;
}
void solve()
{
    cin>>n;ans=0;
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans+=f[i];
            if(i*i!=n) ans+=f[n/i];
        }
    cout<<ans*n<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>T;pre_work();
    for(int i=1;i<=T;i++)
        solve();
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　写数学题就是推公式比较耗时间，但是有一种其他题都享受不到的快感！收获经验如下：

　　$1、\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{筛}\phi ()\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{法}。=>Exp++!$

　　$2、\mathrm{关}\mathrm{于}\phi ()\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{公}\mathrm{式}。=>Exp++!$