P1344 [USACO4.4] 追查坏牛奶 Pollutant Control 题解

一、题目描述：

　　n 个点，m 条边，带边权。起点为 1，终点为 n。

　　求最小割以及在最小割的情况下的最少割的边数。

　　2<=n<=32，1<=m<=1e3。

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 二、解题思路：

　　第一问很好求解，直接最大流即可。

　　第二问想不出来，看了题解把我震惊了！简直太妙了！

　　设边 i 原本的边权为 w[i]，现在我们令新边权 v[i]=w[i]*2e3 +1。

　　设跑出来最大流为ans，割了k条边，编号为 $a_1$,$a_2$,...,$a_k$。

　　所以 ans={$\sum _{i=1}^{n}w[a_i]$}*1e3+k，已知 k<=m<2e3

　　那么有 ans/2e3=$\sum _{i=1}^{n}w[a_i]$，ans%1e3=k。

　　所以第一问答案为 ans/2e3，第二问答案为 ans%2e3。

　　这个题可能有重边。用一个 p[i][j] 表示 i 到 j 的边权比较保险。

　　算法 EK，时间复杂度最差 O(n$m^2$)，但实际上跑的飞快。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 50
#define M 1010
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,l,r,u1,v1,w1,ans;
ll q[N],w[N],vis[N],pre[N],p[N][N];
struct EDGE{
    ll v,nxt;
}edge[M*2];
ll head[N],cnt=-1;
void add(ll u,ll v)
{
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
bool bfs()
{
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        vis[i]=0;
    l=r=1,q[1]=1;
    while(l<=r)
    {
        ll u=q[l];    l++;
        if(u==n) return true;
        for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        {
            ll to=edge[i].v;
            if(!vis[to]&&p[u][to]>0)
            {
                vis[to]=1;
                pre[to]=u;
                q[++r]=to;
                w[to]=min(w[u],p[u][to]);
            }
        }
    }
    return false;
}
void Edmonds_Karp()
{
    w[1]=1e18;
    while(bfs())
    {
        ll u=n;
        ans+=w[n];
        while(u!=1)
        {
            p[u][pre[u]]+=w[n];
            p[pre[u]][u]-=w[n];
            u=pre[u];
        }
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0); 
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        head[i]=-1;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u1>>v1>>w1;
        p[u1][v1]+=w1*M+1;
        add(v1,u1);add(u1,v1);
    }
    Edmonds_Karp();
    cout<<ans/M<<" "<<ans%M<<'\n';
    return 0;
}

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 四、写题心得：

　　感觉网络流的题都要有一个特别妙的构思才行。不过这个题做了也真的蛮有收获的。加油！拜拜！