P1048 [NOIP2005 普及组] 采药 & P1616 疯狂的采药 题解

一、01背包：P1048 [NOIP2005 普及组] 采药

　　f[i] 表示在 i 时间内所能采到的最大药草，容易得到 f[i]=max(f[i],f[i-w[i]]+v[i]) 。

　　然而存在重复采同一株药的情况，于是设计新的状态 f[i][j] 表示在前 i 株药草中，时间为 j 所能采到的最多的药草。

　　由此推出新的转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]) 。意思也就很好理解（ 然而我花了很久才理解 qwq ）。

　　状态由前 i-1 株药草时间为 j-w[i] 的状态推过来，再取一个 max 就好了。（前提是 j 大于 w[i] ）下面放代码：

#include<iostream>
#define N 101
using namespace std;
int t,n,w[N],v[N],f[N][N*10];
int main()
{
    cin>>t>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=t;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j<w[i])    continue; 
            f[i][j]=max(f[i-1][j-w[i]]+v[i],f[i][j]);
        }
    cout<<f[n][t]<<'\n';
    return 0;
}

　　这是二位数组写法。但我们发现求 f[i][j] 时只会用到 f[i-1][j] 的数据，所以可以优化一维。代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int t,n,w[101],v[101],f[1010];
int main()
{
    cin>>t>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=t;j>=w[i];j--)
            f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j]);
    cout<<f[t]<<'\n';
    return 0;
}

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二、完全背包

　　上面代码真的短，但是要注意， j 是倒序枚举，防止一株药被采多次。那完全背包正序枚举不就行了吗？没错，就是这样！代码如下：（P1616 疯狂的采药）

#include<iostream>
using namespace std;
int w[10010],v[10010];
long long t,n,f[10000010];
int main()
{
    cin>>t>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=w[i];j<=t;j++)
            f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j]);
    cout<<f[t]<<'\n';
    return 0;
}

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三、写题心得：

　　背包直到前几天才真正理解了一点，又因为树链剖分耽搁了一下，所以今天才来写这个博客（ 还是用的信息课 qwq ）。现在终于写完了——刚好下课！