关于高斯消元求解行列式的证明

$性质一 : 若交换行列式的任意两行，则行列式取相反数 :$

　　 $这个性质直接通过行列式的计算方式即可得出 : 逆序对数一定变化，所以全部取相反数。$

$性质二 : 若行列式某一行的值变为原来的$ $k$ $倍，则行列式的值变为原来的$ $k$ $倍。$

　　 $这个性质也可以直接通过行列式的计算方式得出 : 每一次都会取一个这一行的数相乘，所以总答案也乘$ $k$ $。$

$性质三 : 若行列式的任意两行成比例，则这个行列式的值为$ $0$ $.$

设 d e t (A) = | \begin{matrix} 1 \times a_{1, 1} & 1 \times a_{1, 2} & . . . & 1 \times a_{1, n} \\ k \times a_{1, 1} & k \times a_{1, 2} & . . . & k \times a_{1, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ 1 \times a_{n, 1} & 1 \times a_{n, 2} & . . . & k \times a_{n, n} \end{matrix} |

$由性质二得 :$

k \times d e t (A) = | \begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & . . . & a_{1, n} \\ a_{1, 1} & a_{1, 2} & . . . & a_{1, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & . . . & a_{n, n} \end{matrix} |

$交换第一行和第二行，由于全部数字都不变，所以行列式的值不变；再由性质一得 :$

$k \times d e t (A) = - k \times d e t (A)$

$所以 d e t (A) 的值为 0$

$性质四 : 若两个行列式只有一行不相同，那么这两个行列式可以直接相加$

　　 $这个性质很明显吧，直接用乘法分配律就能得到。下面给出行列式具体例子 :$

设 d e t (A) = | \begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & . . . & a_{1, n} \\ a_{1, 1} & a_{1, 2} & . . . & a_{1, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & . . . & a_{n, n} \end{matrix} |

设 d e t (B) = | \begin{matrix} b_{1, 1} & b_{1, 2} & . . . & b_{1, n} \\ a_{1, 1} & a_{1, 2} & . . . & a_{1, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & . . . & a_{n, n} \end{matrix} |

d e t (A) + d e t (B) = | \begin{matrix} a_{1, 1} + b_{1, 1} & a_{1, 2} + b_{1, 2} & . . . & a_{1, n} + b_{1, n} \\ a_{1, 1} & a_{1, 2} & . . . & a_{1, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & . . . & a_{n, n} \end{matrix} |

$性质五 : 行列式的一行加上另外一行的倍数，行列式的值不变$

设 d e t (A) = | \begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & . . . & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & . . . & a_{2, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & . . . & a_{n, n} \end{matrix} |

设 d e t (B) = | \begin{matrix} k \times a_{2, 1} & k \times a_{2, 2} & . . . & k \times a_{2, n} \\ 1 \times a_{2, 1} & 1 \times a_{2, 2} & . . . & 1 \times a_{2, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ 1 \times a_{n, 1} & 1 \times a_{n, 2} & . . . & 1 \times a_{n, n} \end{matrix} |

$设 d e t (C) = d e t (A) + d e t (B) ，由性质四得：$

d e t (C) = | \begin{matrix} a_{1, 1} + k \times a_{2, 1} & a_{1, 2} + k \times a_{2, 2} & . . . & a_{1, n} + k \times a_{2, n} \\ 1 \times a_{2, 1} & 1 \times a_{2, 2} & . . . & 1 \times a_{2, n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ 1 \times a_{n, 1} & 1 \times a_{n, 2} & . . . & 1 \times a_{n, n} \end{matrix} |

由 性 质 三 得 ： d e t (B) = 0

$所以 d e t (C) = d e t (A) + d e t (B) = d e t (A)$

$即可以用高斯消元求解行列式$

posted on 2023-05-02 11:57 trh0630 阅读(42) 评论(0) 编辑收藏举报

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