下取整/高斯 函数的性质&证明

$$Part1:$$

$$\mathrm{已}\mathrm{知}:\lfloor x\rfloor \le x<\lfloor x\rfloor +1,\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor$$

$$\mathrm{证}\mathrm{明}:\lfloor \frac{\lfloor \frac{x}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{x}{a\times b}\rfloor$$

$$\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{有}\frac{\lfloor \frac{x}{a}\rfloor }{b}\le \frac{x}{a\times b}<\frac{\lfloor \frac{x}{a}\rfloor }{b}+1$$

$$\lfloor \frac{x}{a\times b}\rfloor \le \frac{x}{a\times b}<\lfloor \frac{x}{a\times b}\rfloor +1$$

$$\mathrm{得}\mathrm{到}\lfloor \frac{x}{a\times b}\rfloor =\frac{\lfloor \frac{x}{a}\rfloor }{b}$$

$$\lfloor \lfloor \frac{x}{a\times b}\rfloor \rfloor =\lfloor \frac{\lfloor \frac{x}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{x}{a\times b}\rfloor ,\mathrm{命}\mathrm{题}\mathrm{得}\mathrm{证}$$

$$Part2:$$

$$\mathrm{证}\mathrm{明}:\lceil \frac{a}{b}\rceil =\lfloor \frac{a+b-1}{b}\rfloor ,\mathrm{保}\mathrm{证}a,b\mathrm{为}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}$$

$$\mathrm{即}\lceil \frac{a}{b}\rceil =\lfloor \frac{a-1}{b}\rfloor +1$$

$$Situation1:b\mid a$$

$$\mathrm{显}\mathrm{然}\lceil \frac{a}{b}\rceil =\frac{a}{b}，\lfloor \frac{a-1}{b}\rfloor =\frac{a}{b}-1，\mathrm{原}\mathrm{式}\mathrm{成}\mathrm{立}$$

$$Situation2:b\nmid a$$

$$\lceil \frac{a}{b}\rceil =\lfloor \frac{a}{b}\rfloor +1,\lfloor \frac{a-1}{b}\rfloor =\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ,\mathrm{原}\mathrm{式}\mathrm{成}\mathrm{立}$$