CF835F 题解

一、题目描述：

　　给你一棵 $n$ 个点，$n$ 条边的无向图，边带权，保证所有点都连通。

　　求任意去掉一条边之后，在保持所有点依然都连通的情况下，直径的最小值。

　　数据范围：$3\le n\le 2e5$ 。

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 二、解题思路：

　　首先我们找出环，我用的是拓扑排序，便于找出环上的点。

　　考虑把这个图看成几棵分开的树，他们的根都在同一个环上，然后分类讨论：

　　$Situation1:\mathrm{最}\mathrm{长}\mathrm{直}\mathrm{径}\mathrm{在}\mathrm{树}\mathrm{上}$

　　　　$\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{比}\mathrm{较}\mathrm{好}\mathrm{求},\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{统}\mathrm{计}\mathrm{每}\mathrm{棵}\mathrm{树}\mathrm{的}\mathrm{直}\mathrm{径}\mathrm{就}\mathrm{好}\mathrm{了},\mathrm{因}\mathrm{为}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{只}\mathrm{能}\mathrm{断}\mathrm{掉}\mathrm{环}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{边}$

　　$Situation2:\mathrm{最}\mathrm{长}\mathrm{直}\mathrm{径}\mathrm{在}\mathrm{环}\mathrm{上}$

　　　　$\mathrm{啊}\mathrm{啊}\mathrm{啊}!\mathrm{这}\mathrm{种}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{真}\mathrm{的}\mathrm{是}\mathrm{想}\mathrm{自}\mathrm{闭}\mathrm{了},\mathrm{调}\mathrm{了}\mathrm{一}\mathrm{天}\mathrm{才}\mathrm{调}\mathrm{出}\mathrm{来}$ 。

　　　　$\mathrm{设}\mathrm{环}\mathrm{的}\mathrm{长}\mathrm{度}\mathrm{为}cc,\mathrm{环}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{点}\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{是}{c}_1,c_2,...,c_{cc}$ 。

　　　　$pr{e}_i\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{从}1\mathrm{到}i\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{和},\mathrm{用}\mathrm{前}\mathrm{缀}\mathrm{和}\mathrm{计}\mathrm{算}$

　　　　$su{f}_i\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{从}i\mathrm{到}n\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{和},\mathrm{用}\mathrm{前}\mathrm{缀}\mathrm{和}\mathrm{计}\mathrm{算}$

　　　　$f_i\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{以}{c}_i\mathrm{为}\mathrm{根}\mathrm{的}\mathrm{树}\mathrm{上},\mathrm{以}{c}_i\mathrm{为}\mathrm{起}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{长}\mathrm{链}\mathrm{的}\mathrm{长}\mathrm{度}$

　　　　$\mathrm{不}\mathrm{难}\mathrm{发}\mathrm{现}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{求}\mathrm{断}\mathrm{掉}\mathrm{一}\mathrm{条}\mathrm{边}\mathrm{之}\mathrm{后},\mathrm{找}\mathrm{到}\mathrm{环}\mathrm{上}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{点}i,j,\mathrm{使}\mathrm{得}{f}_i+f_j+di{s}_{i,j}\mathrm{最}\mathrm{大}$

　　　　$\mathrm{假}\mathrm{设}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{断}\mathrm{掉}\mathrm{了}{c}_k\mathrm{与}{c}_{k-1}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{边},\mathrm{现}\mathrm{在}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{再}\mathrm{分}\mathrm{三}\mathrm{种}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{讨}\mathrm{论}:$

　　　　$Case1:\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{了}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{点}i,j,\mathrm{满}\mathrm{足}1\le j<i\le k-1$

　　　　　　$\mathrm{注}\mathrm{意}\mathrm{式}\mathrm{子}{f}_i+f_j+dis+i,j=(pr{e}_i+f_i)-(pr{e}_j-f_j)=(f_i+pr{e}_i)+(f_j-pr{e}_j)$

　　　　　　$\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{只}\mathrm{要}\mathrm{找}\mathrm{出}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{的}{f}_i+pr{e}_i,f_i-pr{e}_i\mathrm{即}\mathrm{可},\mathrm{这}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{简}\mathrm{单}\mathrm{的}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{统}\mathrm{计}$

　　　　$Case2:\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{了}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{点}i,j,\mathrm{满}\mathrm{足}k\le i<j\le cc$

　　　　　　$\mathrm{与}Case1\mathrm{大}\mathrm{同}\mathrm{小}\mathrm{异}，\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{对}\mathrm{照}\mathrm{一}\mathrm{下}，\mathrm{注}\mathrm{意}\mathrm{用}suf\mathrm{数}\mathrm{组}$

　　　　　　$\mathrm{只}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{找}\mathrm{出}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{的}{f}_i+su{f}_i,f_i-su{f}_i\mathrm{即}\mathrm{可},\mathrm{这}\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{简}\mathrm{单}\mathrm{的}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{统}\mathrm{计}$

　　　　$Case3:\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{了}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{点}i,j,\mathrm{满}\mathrm{足}1\le i\le k-1,k\le j\le cc$

　　　　　　$l_i\mathrm{表}\mathrm{示}max(f_j+pr{e}_j),j\in [1,i]$

　　　　　　$r_i\mathrm{表}\mathrm{示}max(f_j+su{f}_j),j\in [r,cc]$

　　　　　　$\mathrm{答}\mathrm{案}\mathrm{即}\mathrm{是}{l}_{k-1}+r_k,\mathrm{这}\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{简}\mathrm{单}\mathrm{的}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{统}\mathrm{计}$

 　　至此，这个题终于分析完了。时间复杂度 $O(n)$

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 200010
#define ll long long
using namespace std;
ll n,U,V,W,cc,ans1,ans2;
ll du[N],p1[N],p2[N],v1[N],v2[N];
ll c[N],f[N],q[N],a1[N],a2[N],val[N];
ll l1[N],l2[N],fl[N],r1[N],r2[N],fr[N];
struct EDGE{
    ll v,w,nxt;
}edge[N*2];
ll head[N],cnt;
void add(ll u,ll v,ll w)
{
    edge[++cnt].v=v;edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void top_sort()
{
    ll l=1,r=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        if(du[i]==1)
            q[++r]=i,v1[i]=1;
    while(l<=r)
    {
        ll u=q[l];l++;
        for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        {
            ll to=edge[i].v;du[to]--;
            if(du[to]==1&&!v1[to])
                v1[to]=1,q[++r]=to;
        }
    }
}
void dfs1(ll u,ll ff)
{
    for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(edge[i].v!=ff&&!v1[edge[i].v])
        {
            v1[edge[i].v]=v2[edge[i].v]=1;
            c[++cc]=edge[i].v,val[cc]=edge[i].w;
            dfs1(edge[i].v,u);break;
        }
}
void dfs2(ll s,ll u,ll ff)
{
    for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
    {
        ll to=edge[i].v;
        if(v2[to])continue;
        v2[to]=1;dfs2(s,to,u);
        ll t=a1[to]+edge[i].w;
        if(t>a1[u])    a2[u]=a1[u],a1[u]=t;
        else    if(t>a2[u])        a2[u]=t;
    }
    f[s]=a1[u],ans1=max(ans1,a1[u]+a2[u]);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        head[i]=-1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>U>>V>>W;
        add(U,V,W),du[U]++;
        add(V,U,W),du[V]++;
    }
    top_sort();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        if(!v1[i])
        {
            dfs1(i,0);
            break;
        }
    for(ll i=1;i<=cc;i++)
        dfs2(i,c[i],0);
    for(ll i=1;i<=cc;i++)
        p1[i]=p1[i-1]+val[i];
    for(ll i=cc;i>=1;i--)
        p2[i-1]=p2[i]+val[i];
    l1[0]=r1[cc+1]=-1e18,ans2=1e18;
    for(ll i=1;i<=cc;i++)
    {
        l1[i]=max(l1[i-1],f[i]-p1[i]);
        l2[i]=max(l2[i-1],f[i]+p1[i]);
        fl[i]=max(fl[i-1],f[i]+p1[i]+l1[i-1]);
    }
    for(ll i=cc;i>=1;i--)
    {
        r1[i]=max(r1[i+1],f[i]-p2[i]);
        r2[i]=max(r2[i+1],f[i]+p2[i]);
        fr[i]=max(fr[i+1],f[i]+p2[i]+r1[i+1]);
    }
    for(ll i=1;i<=cc;i++)
    {
        ll t1=l2[i-1]+r2[i];
        ll t2=fl[i-1],t3=fr[i];
        ans2=min(ans2,max(t1,max(t2,t3)));
    }
    cout<<max(ans1,ans2)<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　这个题想了一整天，不过确实是一道好题。加油！拜拜！