CF1867F 题解

一、题目描述：

　　给你一颗 $n$ 个点的有根树 $S$，你需要构造一颗 $n$ 个节点的有根树 $T$，

　　使得 $T$ 的 $n$ 颗子树中不与 $S$ 的任意一颗子树同构的数量最大。

　　注意，这里是有根树，旋转树之后的同构不算同构。输出 $T$ 的所有边。

　　数据范围：$1\le n\le 1\times {10}^6$。

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 二、解题思路：

　　树同构，本能地想到树哈希。而树哈希推荐 $OIWiki$ 上的写法，不容易被卡。

　　容易发现，若一棵子树不与 $S$ 中的任意一颗子树同构，那么他的父亲子树也满足条件。

　　所以我们只需要找到最小的一颗子树使得它不与 $S$ 同构，然后往上不断加链就行。

　　发现这颗最小的子树一定会很小，因为 $S$ 一共只有 $n$ 颗子树。

　　所以我们直接从小到大枚举子树就行。设这颗子树的大小为 $V$，则时间复杂度 $O(n\times V)$ 。

　　那么这颗子树最大有多大呢？考虑 $n$ 个点的子树有多少种不同的形态。

　　注意到一颗多叉树唯一对应一颗二叉树（分左右儿子），而一颗二叉树也唯一对应一颗多叉树。

　　又注意到一颗二叉树唯一对应一颗完全二叉树，一颗完全二叉树唯一对应一颗二叉树。

　　所以就是求一颗 $n$ 个节点的完全二叉树有多少种形态。而这是卡特兰数经典题。

　　$Ca{t}_{14}=2674440\ge 1\times {10}^6$，所以树的大小最大为 $14$。时间复杂度 $O(14n)$。

　　考虑怎么不重不漏的枚举树的形态。暴搜枚举每一个点的父亲节点。

　　但是这样很明显会枚举到很多同构的树，时间复杂度变为 $14!\times 14$。难以通过本题。

　　其实只需要做一个小剪枝就可以了，就是枚举的父亲节点顺序单调不降。

　　想一下就想明白了，就像那个什么最小表示法一样。于是时间复杂度 $O(14n)$。

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 三、完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define V e[i].v
#define N 1000010
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
using namespace std;
map <int,bool> mp;
mt19937 m(time(0));
int n,mask,ha[N],fa[N];
struct EDGE{
    int v,nxt;
}e[N<<1];
int head[N],cnt;
void add(int u,int v){
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int shift(int val){
    val^=mask;
    val^=val<<13;
    val^=val>>7;
    val^=val<<17;
    val^=mask;
    return val;
}
void dfs(int u,int ff){
    ha[u]=1; for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
        if(V!=ff) dfs(V,u),ha[u]+=ha[V];
    ha[u]=shift(ha[u]); 
}
void dfs2(int step,int lim,int num){
    if(step>num){
        rep(i,1,num) head[i]=-1; cnt=0;
        rep(i,2,num) add(fa[i],i); dfs(1,0);
        if(!mp[ha[1]]){
            int k=n-num;
            rep(i,1,k) cout<<i<<" "<<i+1<<'\n';
            rep(i,2,num) cout<<i+k<<" "<<fa[i]+k<<'\n';
            exit(0);
        } return ;
    }
    rep(i,lim,step-1) fa[step]=i,dfs2(step+1,i,num);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n; mask=m();
    rep(i,1,n) head[i]=-1;
    rep(i,1,n-1){
        int u,v; cin>>u>>v;
        add(u,v); add(v,u);
    }
    dfs(1,0); rep(i,1,n) mp[ha[i]]=1;
    rep(i,1,n) dfs2(2,1,i);
    rep(i,2,n) cout<<i-1<<" "<<i<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　好，第二次写树哈希，收获经验如下：

　　$1、shift\mathrm{还}\mathrm{是}\mathrm{要}\mathrm{多}\mathrm{练}\mathrm{练}，\mathrm{背}\mathrm{下}\mathrm{来}。=>Exp++!$

　　$2、\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{数}\mathrm{就}\mathrm{很}\mathrm{难}\mathrm{被}\mathrm{卡}，\mathrm{以}\mathrm{后}\mathrm{取}\mathrm{模}\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{模}\mathrm{数}=>Exp++!$